【円】弧と中心角と円周角!弧の比から円周角を求めて角度を求める!をわかりやすく解説!【中3数学】

中学3年単元

 

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【円】弧と中心角と円周角!弧の比から円周角を求めて角度を求める!の解説動画

本日は中3数学円 弧と中心角と円周角!弧の比から円周角を求めて角度を求める!について解説していきます。

円の問題は複雑で難しい、と思う人も多いですよね。

参考書の解説もわかりづらくて勉強が嫌になることもあるのではないでしょうか。

今回は参考書ではありえないくらい丁寧に解説していきます。

 

実際に練習問題を解いて円の問題を練習しましょう。

弧と中心角と円周角!弧の比から円周角を求めて角度を求める! 練習問題 問

(問)図のように、円周を12等分した点をA,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,Lとする。線分BKと線分FLの交点をMとするとき、∠BMFの大きさを求めなさい。

弧と中心角と円周角!弧の比から円周角を求めて角度を求める! 練習問題 問 回答と解説

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 問の回答

(問) 回答
75°

問の解説

線分BKと線分FLの交点をMとするとき、∠BMFの大きさを求めなさい。の解説をしていきます。

12等分された1つの弧(例えば弧ABや弧BCなど)に対する円周角について考えていきましょう。

まずは半円に対する円周角を考えましょう。例えば半円の部分である弧AGから出ている円周角∠ACBについて考えてみます。すると∠ACBは90度だとわかります。なぜかというと、点A から点Gに直線を引っ張った時に、直線AGはこの円の直径になります。直径から出る円周角は90度となりますよね。こちらはしっかり覚えておきましょう。

つまり12等分された弧が6個分のとき、円周角は90度になることが分かりますよね。

それでは、この12 等分された1つの弧に対する円周角を計算してきましょう。
12等分された弧が6個で円周角は90度、では12 等分された弧が1個で円周角は何度になるか、ということです。

円周角の定理より、弧の長さと円周角は比例の関係にあるので、もとめたい12 等分された弧が1個で円周角をxとすると、
6:90=1:xという式が立てられます。これを解くと

6x=90

x=15
つまり12 等分された弧が1個で15°ということになります。たとえば弧ABの円周角は15°になるということです。

それでは三角形BMF使って今回求めたい角度を求めていきます。

まずは∠FBKから求めていきましょう。∠FBKを円周角とする弧FKの長さは数えてみると、12等分された弧が5個分ということがわかります。よって先ほど求めた通り1個あたりの円周角が15度なので、
∠FBK=15°×5個分となり、∠FBK=75°であるということがわかります。

それでは同様に∠BFJも求めていきます。∠BFJを円周角とする弧BJの長さは数えてみると、12等分された弧が2個分ということがわかります。よっ て
∠BFJ=15°×2個分となり、∠FBK=30°であるということがわかります。

これで三角形BMFの2つの内角が分かったので、三角形の内角の和が180度になることを活用して∠BMFを求めてきます。

式は∠BMF=180°-(∠FBK+∠BFJ)となり、∠FBK=75°、∠FBK=30°なので
∠BMF=180°-(75°+30°)

∠BMF=180°-105°

∠BMF=75°

よって∠BMFの大きさは75°となります。

 

本日の授業はいかがでしたでしょうか。