【円】円周角の定理の逆：同一円上の点を求めるをわかりやすく解説！【中3数学】

 問1の回答

問1 (1)の解説

条件から三角形ABF三角形ACEが相似であるということがわかっています。よって三角形ABFの角である∠ABFと三角形ACEの角である∠ACEは等しいということが言えます。

∠ABFは∠EBFであり、∠ACEは∠ECFであるので、直線EFについて点Bと点Cのなす角である∠EBFと∠ECFが等しいと言えます。さらに、点Bと点Cはともに直線EFの下側に位置しているので、4点E,F,B,Cは同一円周上にあると言えます。

問1 (2)の解説

この問題ではFA=FB、EA= ECという条件が課せられています。よって三角形FABと三角形EACが二等辺三角形であるということが分かります。二等辺三角形は底角が等しくなるので、三角形FABの底角である∠FABと∠FBAが等しくなり、三角形EACの底角である∠EACと∠ECAが等しくなるということが言えます。

また図から、∠FABと∠EACは共通の角であるので、∠FAB=∠EACということが分かります。

ここで、∠FBAは∠FBEであり、∠ECAは∠ECFであるので、直線EFについて点Bと点Cのなす角である∠FBEと∠ECFが等しいと言えます。さらに、点Bと点Cはともに直線EFの左側に位置しているので、4点E,F,B,Cは同一円周上にあると言えます。

 問2の回答

問2の解説

まず、∠ABDと∠ACDが90度になることは分かるでしょうか。どちらの角も直線ADつまり円の直径に対する円周角となっていますね。円の直径に対する円周角が90度となるため∠ABDと∠ACDは90度になります。

さらに∠EBD=∠FCD=90度となります。これは点Eが直線AB上に位置していることから、180-∠ABD=∠EBDという式が成り立ち、∠ABDが90度なので、∠EBDも90度となるということです。∠FCDも同様に90度となります。

そして直線EFに着目していくと点Bと点Cがどちらも直線EFの左側に位置しているので、演習角の定理の逆から4点B,C,E,Fは同一円周上にあると言えます。