【円】円周角の定理の逆:同一円上の点を求めるをわかりやすく解説!【中3数学】

中学3年単元

 

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【円】円周角の定理の逆:同一円上の点を求めるの解説動画

本日は中3数学円 円周角の定理の逆:同一円上の点を求めるについて解説していきます。

円の問題は複雑で難しい、と思う人も多いですよね。

参考書の解説もわかりづらくて勉強が嫌になることもあるのではないでしょうか。

今回は参考書ではありえないくらい丁寧に解説していきます。

 

実際に練習問題を解いて円の問題を練習しましょう。

円周角の定理の逆:同一円上の点を求める 練習問題 問1

(問1)次の図で、同じ円周上にある4点の組をそれぞれ求めなさい。

円周角の定理の逆:同一円上の点を求める 練習問題 問1 回答と解説

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 問1の回答

(問1) 回答
(1) E,F,B,C
(2) E,F,B,C

問1 (1)の解説

条件から三角形ABF三角形ACEが相似であるということがわかっています。よって三角形ABFの角である∠ABF三角形ACEの角である∠ACE等しいということが言えます。

∠ABFは∠EBFであり、∠ACEは∠ECFであるので、直線EFについて点Bと点Cのなす角である∠EBFと∠ECFが等しいと言えます。さらに、点Bと点Cはともに直線EFの下側に位置しているので、4点E,F,B,Cは同一円周上にあると言えます。

問1 (2)の解説

この問題ではFA=FB、EA= ECという条件が課せられています。よって三角形FABと三角形EACが二等辺三角形であるということが分かります。二等辺三角形は底角が等しくなるので、三角形FABの底角である∠FABと∠FBAが等しくなり三角形EACの底角である∠EACと∠ECAが等しくなるということが言えます。

また図から、∠FABと∠EACは共通の角であるので、∠FAB=∠EACということが分かります。

ここで、∠FBAは∠FBEであり、∠ECAは∠ECFであるので、直線EFについて点Bと点Cのなす角である∠FBEと∠ECFが等しいと言えます。さらに、点Bと点Cはともに直線EFの左側に位置しているので、4点E,F,B,Cは同一円周上にあると言えます。

円周角の定理の逆:同一円上の点を求める 練習問題 問2

(問2)下の図にのように、4点A,B,C,Dは円Oの円周上の点で、線分ADは直径です。2直線AB,CDの交点をE、2直線AC,BDの交点をFとする。このとき、1つの円周上にある4点を答えなさい。

円周角の定理の逆:同一円上の点を求める 練習問題 問2 回答と解説

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 問2の回答

(問2) 回答
B,C,E,F

問2の解説

まず、∠ABDと∠ACDが90度になることは分かるでしょうか。どちらの角も直線ADつまり円の直径に対する円周角となっていますね。円の直径に対する円周角が90度となるため∠ABDと∠ACDは90度になります。

さらに∠EBD=∠FCD=90度となります。これは点Eが直線AB上に位置していることから、180-∠ABD=∠EBDという式が成り立ち、∠ABDが90度なので、∠EBDも90度となるということです。∠FCDも同様に90度となります。

そして直線EFに着目していくと点Bと点Cがどちらも直線EFの左側に位置しているので、演習角の定理の逆から4点B,C,E,Fは同一円周上にあると言えます。

本日の授業はいかがでしたでしょうか。