これで完璧!平方根の基礎!

教科別勉強法

今回は平方根について解説していきます!

平方根とはどのような考え方なのかを押さえることが出来れば、それほど難しい内容ではありません!

今回の内容は、まだ平方根を習っていない方・習ったけれど忘れてしまった方でも理解で切るようにまとめてあります。是非参考にしてください!

 

因数分解についても知りたい!という方はこちらもチェックしてみてください!

平方根とは

 

ここでは、平方根とはどんな考え方をしているのか、
どのように表すのかなどの基本的な内容を扱っていきます。

 

基礎から見直したいという方はこちらから読み始めてください!

 

平方根の考え方

平方根とは2乗の逆のことです!

 

平方根とは2乗の逆のことなので、「2乗したときAになる数がAの平方根である」と言えます。
具体的に数字を当てはめて考えてみましょう。

 

「2乗したときに36になる数が36の平方根である」とあったとき、36の平方根は6であることが分かります。
また、-6を2乗しても36になりますね。
そのため、36の平方根は+6と−6になります。6と-6のことをあわせて±6と書くこともあります。

 

平方根で使う記号

平方根は根号(ルート)という記号で表されます。√←これをルートと言います。
先ほどの例を記号を使って式にすると√36=±6 となります。
また、ルートを使うと平方根が整数にならなくても平方根を表すことが出来ます。

 

例: 5の平方根
2乗して5なる数は、本当なら±2.2360…というような数字になります。
しかし、これだと書くのが大変で計算にも不便なので、±√5と書くことが出来ます。

 

平方根の正と負

正の数の平方根は、正と負の2つあります。

 

2乗して負の数になる数は存在しないため、負の数の平方根は存在しません。
よって、ルートの中がマイナスになることは絶対にありません。

 

√36は36の平方根のうち正の数を表します。つまり、√36 = 6 です。
逆に、-√36は36の平方根のうち負の数を表します。-√36 = -6 です。

 

0の平方根

平方根は正の数と負の数の二つがあると書きましたが、(A)²= 0 のとき、Aにあてはまるのは0だけとなります。
よって、0の平方根は「0だけ」になります。
0は特別だと覚えておけば、テストで出題されても楽勝で解けますね!

 

2乗の平方根

2乗の平方根も同じ考え方で解くことが出来ます。
2乗される前の数字が平方根なので、ルートの中で2乗されている数字がその答えになります。

 

例:
√6² = √36 = 6

-√(7²) = -7

 

例のように、ルートの外にマイナスがある場合は、答えは負の数になります。
逆に、マイナスがルートの中にある場合、例えば、√(-6)²の倍などは、負の数は2乗されて正の数になりますね!
このパターンの問題は±に気をつけましょう!

 

 

■ 平方根の考え方

平方根は2乗の逆!

 

■ 平方根の記号

√を使って表す

 

■ 平方根の正と負

正の数の平方根は+と-の二つある

 

 

平方根の計算

 

さて、平方根自体の説明が終わったところで平方根を使った計算方法を解説していきます!
これも基本事項を押さえてしまえば、そんなに難しいことはないので気負わず進んでい行きましょう!

 

素因数分解を使って数字をまとめる

平方根の計算では、平方根同士の計算ができるよう式を整えます。
式を整えるには素因数分解で数をまとめます。

 

素因数分解をして2乗で表せる数はルートの外に出します。
これも考えるよりも例題をみて流れを確認していきましょう!

 

例: √50をまとめる

50の素因数分解は

 

50 = 2 × 5²

 

よって、√50 = 5√2

 

平方根の足し算と引き算

ルートの中身が同じ数字の数は足したり、引いたりすることが出来ます。

 

逆に、ルートの中身が違う数字の場合、それ以上計算することはできません。
文字式でも同じですよね。
(3a + 4aは7aにまとめられるが、 3a + 4bはこれ以上まとめられない)

 

つまり、

5√3 + 2√3 = 7√3

とすることが出来ます。

 

しかし、3√5 + 2√3はこれ以上変わりません。
だから、計算の前に素因数分解が必要になるんですね!

 

足し算・引き算の例題
√27 + √48 – √75 を計算する。

 

ルートの足し算、または引き算をするため、ルートの中の2乗を外に出して先に数字をまとめます。

 

√27 = 3√3,
√48 = 4√3,
√75 = 5√3

 

となり、式は3√3 + 4√3 – 5√3になります。

よって、

√27 + √48 – √75
= 3√3 + 4√3 – 5√3
= 2√3

 

答えは2√3となります。

 

平方根の掛け算と割り算

掛け算と割り算では、ルートの中身が違う数字でも計算することができます。
文字式でもそうですね。
(3a × 4b = 12ab)

 

ルートの掛け算はルートの中身同士、ルートの外同士をかけ合わせます。
最後にルートの中から2乗で表せる数字を出して数字を整えます。

 

例: 3√36 × 4√2を計算する

 

3√36 × 4√2
= 3 × 4 × √6 × 2
= 12 × √12
= 12 × 2√3
= 24√3

 

よって答えは24√3となります。
ルートの数字を素因数分解を使ってまとめる癖をつけておきましょう!

 

分母の有理化

分数を見やすくするため、分母にルートが付いている場合は分母のルートを外して有理化します。
有理化とは「ルートを外すこと」です。難しく考える前に例を見ていきましょう!

 

例: √28 ÷ √10 を計算する。

先ほどの掛け算と同じ要領で、ルートの中を計算します。

√28/√10 = √14/√5

 

約分して√14/5になりました。この時点ではルートは分母と分子の両方に掛かっています。
そこで、分母と分子に分母と同じ数を掛けます。
すると、分母だけ2乗されて分母の√が外れます。

√14 × √5 ÷ √5 × √5
= √70 ÷ (√5)²
= √70/5

 

よって、答えは√70/5となります。

 

 

■ 素因数分解の応用

2乗で表せる数字を√の外に出す

 

■ 平方根の足し算・引き算

√の中が同じ数字は足し引き出来る

 

■ 平方根の掛け算・割り算

√の中が違う数字でも掛けたり割ったりできる

 

■ 分母の有理化

見やすいように分母のルートは外す

 

覚えておきたい近似値

 

√4, √9, √16, √25など、平方根が整数になる場合は分かり易いですね。
しかし、√2, √3, √5などは少数点以下が何桁も続く数字になります。
その少数点以下を省略して「だいたいこれくらい」としたのが近似値です。
√2, √3, √5, √7, √8は良く出てきて答えの確認にも使うことが出来るので近似値を覚えておきましょう!

 

  • √2=1.41421356 ひとよひとよにひとみごろ(一夜一夜に人見ごろ)
  • √3=1.7320508075 ひとなみにおごれやおなごを(人並みに奢れや女子を)
  • √5=2.2360679 ふじさんろくおうむなく(富士山麓オウム鳴く)
  • √6=2.44948974 によよくよやくなよ(煮よ 良くよ 焼くなよ)
  • √7=2.64575 なにむしいない(菜に虫いない)
  • √8=2.8284271 にやにやよにない(ニヤニヤ世担い)

 

√5の近似値が2.2360679と知っていれば、
「√5000 をルートを使わず小数点第一位まで表しなさい」という問題に即答できます。
2.2360679を1000倍するだけで答えが出ますよね。
また、近似値を覚えておくと現実世界で大体の大きさを測るのに役に立ちます。

 

 

√2=1.41421356 一夜一夜に人見ごろ

√3=1.7320508075 人並みに奢れや女子を

√5=2.2360679 富士山麓オウム鳴く

√6=2.44948974 煮よ 良くよ 焼くなよ

√7=2.64575 菜に虫いない

√8=2.8284271 ニヤニヤ世担い

 

 

まとめ

 

いかがでしたでしょうか?

今回は平方根について基礎から解説していきました。

残念ながら、解説を一回読んだだけでは内容は身に付きません。
しっかりと練習問題に取り組み、実力をつけていきましょう!

 

数学の勉強法について詳しく知りたい方はこちらをチェック!

 

■ 平方根の考え方を知る

■ √のついた数字をまとめる

■ 平方根の計算方法を知る

■ 分母は有理化する

■ 便利な近似値を覚える

 

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コメント

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