【円】弧と中心角と円周角：弧の比から長さと角度を求めるをわかりやすく解説！【中3数学】

 問1の回答

問1の解説

問題から、長さ6πの弧ABに対する円周角は60度であることが分かっています

この円周角から中心角を求めていきましょう。
中心角は円周角の2倍となるので、弧ABに対する中心角は120度であることがわかります。

中心角がわかったのでそこから円周の長さを求めていきましょう。弧の長さと中心角の大きさは比例する、ということを利用します。
中心角120度に対して弧ABが6πであることがわかっています。円周は中心角360度に対する弧の長さとも考えられるので、弧ABは演習の長さの1/3倍であることがわかります。

よって円周の長さは弧ABの長さ6πの3倍、つまり18πとなります。

円周の長さがわかったら、そこから半径を求めていきましょう。

半径の長さをrとすると2πrが演習となります。

なのでrについて解いてあげると、問1の答えは9cmとなります。

 問2の回答

問2の解説

∠APBの大きさを求められているので、三角形BAPに注目していきましょう。

三角形BAPに注目すると、直径に対応する円周角が90度であるので、∠ABPは90度であることがわかります。

∠ABPの大きさがわかったので、次に∠BAPの大きさが分かれば、∠APBの大きさを求められそうですね。
ですが、まずは∠BAPを∠BAC、つまり弧BCに対する円周角として求めていきましょう。

∠BAPは弧BCの円周角なので、∠BCの中心角が分かれば求めることができます。
∠ABと∠CDの長さから∠BOC、つまり弧BCに対する中心角の大きさを求めていきましょう。

まず弧ABに注目すると、問題より、弧ABは弧ADの12分の5倍でした。つまり弧ABに対する中心角∠AOBは弧ADに対する中心角∠AODの12分の5倍であることがわかります。ここで問題文から ADは直径であることがわかっているので∠AODは180度であることがわかります。なので∠AOBの大きさは180に12分の5をかけた75度ということになります。

同じように弧CDは弧ADの4分の1倍、つまり180度の4分の1倍となるので45度と計算できます。
したがって∠BOCの大きさは180-(75+45)と計算でき、60度であることがわかりました。

弧BCに対する中心角が計算できたので∠BAPを求めていきましょう。
∠BAPつまり弧BCに対する円周角∠PACは弧BCに対する中心角POCの1/2倍であることがわかるので、60度の1/2倍つまり30度であることが計算できます。なので∠BAPは30度であることが分かりました。

最後に今回問われている∠BPAは180度から∠ABPと∠BAPを引いた値となるので、∠BPAは60度となります。

 問3の回答

問3の解説

今回求めたい角度∠CEDをx度と置いておきましょう。∠CEDをx度と置くと、∠CEDの対頂角∠AEBもx度であることがわかります。

次に∠DAEをa度と置きます。∠DAEをa度とすると、問題文より∠BADが96度となっているので、∠BAEは96-aということになります。

ここで∠ABEの大きさがわかれば、三角形ABEの内角の和180度ということを使ってxの値が求まりそうですね。なので∠ABEを求められないかな、と考えながら見ていくと、∠DAEは弧CDに対する円周角であることがわかります。なので同じく弧CDに対する円周角である∠CBDもa度となることがわかります。

∠CBDの大きさがわかったので、問題文を見ると∠ABDと∠CBDの大きさが等しい、ということが書かれています。なので∠ABDもa度となることがわかります。

以上より、三角形ABEの内角をすべて文字で表すことができました。なので内角の和は180度という性質を使って96°-a°+a°+x°=180°という式をつくることができます。
これを計算すると96+xは180、そしてx=84となり、∠CEDは84度ということになります。