自分の実力を知る。偏差値の簡単な求め方!

偏差値 求め方の表紙の図 保護者向け
くーちゃん
くーちゃん

偏差値ってよく聞くけど

なんなのか全然わからないんだよね。

Laf先生
Laf先生

そうだよね。

じゃあ今日は「偏差値」について話していこうか!

 

こんにちは!Laf先生(@Laf_oshikawa)です。

本日は試験結果で最も重要になってくる偏差値に関してです!

重要だと感じているものの、その偏差値はどうやって求めるのかと聞かれると説明できないのではないでしょうか?

 

偏差値の求め方を理解し、
使えるようになるには「偏差値」とはどういうものかを理解するのが最も重要です。

 

そこで今回は偏差値とはどういったものか、求め方を解説した上で、

  • 大学受験
  • 高校受験
  • 中学受験

それぞれにおける偏差値の違いも記載してあります!

 

それでは見ていきましょう!

 

偏差値ってそもそも何?

 

偏差値とはデータの標準偏差(スケール)を一律10にし、
平均50からどれだけ離れているかを示す指標である。」
(wikipedia「偏差値」より引用)

 

・・・これだけでは何を言っているのかわかりませんよね。

 

簡単に言えば、偏差値とは

平均を50とした際に、自分が平均からどれだけ離れているのかを示す数値

です。

 

以下詳しく求め方とともに解説していきます!

 

 

偏差値の求め方

偏差値の求め方の図

 

偏差値は以下の公式から求められます!

 

偏差値 = 10 × (自分の点数-全体平均) / 標準偏差 + 50

 

この公式は何をやっているのか説明していきますね。

 

 

偏差値の求め方①自分の点数から平均を引く

 

まずは自分の点数から平均を引きましょう!

 

これによって自分が平均からどれだけ離れているのか数字で表すことができます!

 

くーちゃん
くーちゃん

え、これで自分がどれだけ離れているのか知りたいのならこれで終わりじゃないの?

Laf先生
Laf先生

そう思うかもしれないけど、実はこの数値には一つ大きな問題があるんだ。

 

偏差値の求め方②標準偏差で割る

 

ここで問題になるのは、

 

求めた差の数値では大きいのか小さいのか判断できない

 

ということです。

 

具体的な例を上げます。

例えば、

2回テストを行い両方とも平均点が60点だったとします。

  • 1回目のテストが73点
  • 2回目のテストが63点

この場合、どちらのほうが優れた点数だと言えるでしょうか?

 

一見すると

  • 1回目の平均点との差:73-60=13点
  • 2回目の平均点との差:63-60=3点

となり、1回目のほうがよく見えます。

 

しかし、ここで

  • 1回目の最高点が98点
  • 2回目の最高点が65点

だったという条件を付け加えるとどうでしょうか?

 

くーちゃん
くーちゃん

1回目の方が2回目より「自分より点数が高い人」が多いかもしれない・・・

Laf先生
Laf先生

そうなんです。

1回目の方が平均点より13点も高いので、点数としては高いのですが

周りと比較したときの順位を考えると、1回目は2回目よりも順位が低い可能性があります。

 

 

こうなるとどちらが優秀かわかりませんよね。

 

このように平均との差がどれだけ大きいかどうかは

「全体的な点数の散らばり具合」

によって変わってきます

 

そのため平均との差を求めてから「データの散らばり具合」、

すなわち分散」で割ることでデータの散らばり具合を均一にする必要があります。

 

 

 

ココから先は偏差値を求めるためのマニアックな計算方法になります。

飛ばしたい方はこちらをクリックお願い致します!!

 

 

 

では、マニアックな計算方法を見ていきましょう。

 

データの分散の公式は以下で求められます。
(「標準偏差は?」と思われた方、後ほど説明します。)

 

  • データの個数をn
  • 各データをX₁~Xn
  • 平均をμ

とするとき

n
分散=1/n×Σ(Xk – μ)²
k=1

※Σは「数列の和」を指します。

 

N個の数列Xnがあるとき、X₁~Xnをすべて足した式は

n
ΣXk
k=1

で表されます。

 

高校数学でよく出る記号で、書く時にすごく便利なので覚えておきましょう。

 

この公式をまず解説します。

 

まず(Xk-μ)をすべて、そのまま足すとどうなるかわかりますか?

 

例として[1,2,3]というデータの平均との差をすべて足してみましょう。

 

この3つのデータの平均は2ですね。
そこで数式(1-2)+(2-2)+(3-2)の答えは…言うまでもなく「0」ですよね。

 

このように

「各データと平均の差」をすべて足せば必ずゼロになります。

 

しかし、これでは散らばり具合がわからないですよね。

 

そこで、各データを二乗することで合計しても0ではない数値にすることができます

 

ただ、これではデータの大きさ(データがいくつあるかは「数」ではなく「大きさ」という表現で示します。)
が多くなればなるほど分散の大きさが増えていきます。

 

そこで最後にデータの個数で割ることで、データの大きさが違っても等しい数値にしましょう。

 

これでデータの分散は求まります。

 

ただ、これでも一つ問題があります。

それは平均と各データの数値の差が大きくなればなるほど(Xk-μ)²の数値の広がりが大きくなっていくことです。

 

例えば

Xk-μ=1のとき、その二乗は1ですが、

Xk-μ=10のときはその二乗は100になります。

 

これでは「自分の点数-全体平均」を分散で割っても、分散の大きさにより値が大きく変化してしまい、
使う数値としてはあまりに不便です。

 

そこででてくるのが標準偏差です。

 

標準偏差は「分散の平方根」です

 

考え方はシンプルで一度二乗した物を平方根にすることで数値を小さくしようということ。

これで値の変化を小さくすることができます。

 

標準偏差は主にsというアルファベット、分散はs²で表されることが多いので覚えておきましょう。

 

余談ですが、

(自分のデータ-平均)/標準偏差

の流れは「データの標準化」と呼ばれます。

 

差を求め、更に散らばり具合で割ることにより、異なるデータであっても大小が比較できるようになります。

自分が見ているデータの数値が大きいか小さいかわからない際はまずは標準化してみて、
他のデータと比べてみましょう。

 

 

偏差値の求め方③10をかけて50に足す。

 

上記までで自分の点数が平均と比べてどれくらい良いのかわかりました。

 

最後に50を平均にすることで点数を見えやすくします。

 

標準化したデータそのままでは小さすぎるので10でかけてから50に足しましょう。

 

これで偏差値が求まりました!

 

 

【余談】偏差値の求め方…大学、高校、中学での違い

偏差値の違いの図

 

異なるデータでも偏差値で表すことにより自分の点数の良し悪しがわかるようになりました。

 

しかし、同じ偏差値でも偏差値の取りやすさには違いがあります。

 

この3つでは

❶ 高校受験

❷ 中学受験

❸ 大学受験

の順に高偏差値が取りやすくなっています。

 

これはこの3つの受験を受ける層のレベルによる変化です。

 

中学受験は私立や国立の中学へ行く人が集まるため必然的に勉強ができる優秀な学生だけが残ります。

それ故に偏差値は上がりにくくなります。

 

高校受験は勉強ができない人も多く集い、かつ中学受験で優秀な層が抜けるために偏差値が上がりやすいです。

 

大学受験は中学受験をした優秀層が戻るだけでなく、
浪人した基礎学力の高い層も混じって来る上に、勉強のできない人はそもそも受験しないことが多くなります。

 

そのために、高校受験と比べて大きくレベルが上がり、偏差値は上がりにくくなります。

 

 

まとめ

偏差値 求め方のまとめの図

 

いかがでしたでしょうか?

 

偏差値はどのようなテストでも自分の位置を出してくれる魅力的な指標です。

普段のテストでは求めることがなく、点数で一喜一憂しがちになりますが、
そちらでも偏差値を求めれば意外と良かったりすることもあります。

 

積極的に求めていきましょう!

 

偏差値の上げ方について詳しく知りたい方はコチラをチェック!

タイトルとURLをコピーしました