サイコロを何回か投げる確率の文章題では、「兄のカードが増えるのか、減るのか」が整理できずに手が止まりやすいです。
この記事では、兄と弟がカードを受け渡す問題について、1回ごとの変化をもとに場合の数を数える方法を解説します。
この記事でわかることは、出た目ごとの変化を整理して、条件に合うサイコロの出方を数える考え方です。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
兄と弟がそれぞれ20枚のカードを持っています。サイコロを続けて何回か投げ、1回ごとに次のルールでカードを受け渡します。
3、4、6の目が出たときは、その目の数と同じ枚数のカードを兄から弟に渡します。
1、2の目が出たときは、その目の数の3倍の枚数のカードを弟から兄に渡します。
5の目が出たときは、カードの受け渡しをしません。
問1 サイコロを続けて3回投げたとき、兄のカードの枚数が最も多い場合は何枚ですか。
問2 サイコロを続けて2回投げたとき、次の確率を求めなさい。
1 兄のカードの枚数が26枚になる確率
2 兄と弟のカードの枚数が20枚ずつになる確率
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 兄のカード枚数の変化を整理する
まずは、サイコロの目ごとに兄のカードが何枚増減するかを考えます。兄にカードが来るならプラス、兄から弟へ渡すならマイナスです。
1が出ると、弟から兄へ1×3=3枚なので、兄は+3枚です。
2が出ると、弟から兄へ2×3=6枚なので、兄は+6枚です。
3が出ると、兄から弟へ3枚なので、兄は-3枚です。
4が出ると、兄から弟へ4枚なので、兄は-4枚です。
5が出ると、受け渡しなしなので、兄は0枚です。
6が出ると、兄から弟へ6枚なので、兄は-6枚です。
この問題は、毎回の変化を「+3、+6、-3、-4、0、-6」として見るのがポイントです。
ステップ2: 3回投げて兄のカードが最大になる場合を考える
兄のカードを最も多くしたいので、1回ごとに兄が一番多くもらえる目を選びます。兄が増えるのは1と2の目で、1なら+3枚、2なら+6枚です。
一番大きく増えるのは、2の目が出たときの+6枚です。
3回とも2の目が出ると、兄の増加は次のようになります。
+6×3=+18
最初に兄は20枚持っているので、
20+18=38
したがって、問1の答えは38枚です。
ステップ3: 2回投げて兄が26枚になる確率を求める
兄は最初20枚なので、26枚になるには、2回の合計で+6枚になればよいです。
2回投げるとき、合計が+6になる組み合わせを探します。
+3と+3なら、合計は+6です。これはサイコロの目でいうと、1回目が1、2回目が1です。
+6と0なら、合計は+6です。これは、1回目が2、2回目が5です。
0と+6でも、合計は+6です。これは、1回目が5、2回目が2です。
条件に合う出方は、(1,1)、(2,5)、(5,2) の3通りです。
2回サイコロを投げる全体の場合の数は、
6×6=36
よって、確率は
3/36=1/12
問2の1の答えは1/12です。
ステップ4: 2回投げて20枚ずつに戻る確率を求める
兄と弟が20枚ずつになるには、兄のカードの増減が合計で0になればよいです。つまり、増えた分を次に減らす、または減った分を次に増やす形を考えます。
+3と-3なら、合計は0です。出方は(1,3)です。
-3と+3なら、合計は0です。出方は(3,1)です。
+6と-6なら、合計は0です。出方は(2,6)です。
-6と+6なら、合計は0です。出方は(6,2)です。
0と0なら、ずっと変化しないので合計は0です。出方は(5,5)です。
条件に合う出方は5通りです。全体は36通りなので、確率は5/36です。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、3、4、6の目を「兄がもらう」と考えてしまうことです。問題文では、3、4、6のときは兄から弟に渡すので、兄の枚数はマイナスになります。
2つ目は、2回投げるときに順番を区別しないことです。
たとえば(2,5)と(5,2)は、1回目と2回目の出方が違うので別の通りとして数えます。
確率では、サイコロを2回投げるなら全体は6×6=36通りで考えます。
まとめ
- まず、サイコロの目ごとに兄のカードの増減を整理します。
- 兄の最大枚数は、+6になる目を3回出すと考えて38枚です。
- 兄が26枚になるには、2回の合計が+6になる出方を数えます。
- 20枚ずつに戻るには、2回の合計が0になる出方を数えます。
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