【平面図形】円の面積の問題を丁寧に解説!【中1数学】

1年
Laf先生
Laf先生

はい!皆さんこんにちは!
Laf先生です!

本日は中1数学 平面図形
「円の面積」についてやっていきたいと思います!

円の面積の公式って覚えづらいって思いますよね。

しかも、参考書の解説がわかりづらくて勉強が嫌になるときありますよね。

今回の動画では、参考書ではありえないくらい丁寧に解説していきますので、高評価&チャンネル登録よろしくお願いします!

ちなみに、動画の最後にテスト予想問題を載せているのでチャレンジしてみてください!


それでは本日の問題を見ていきましょう!

本日の問題はこちらになります。

自力で解いてみたい方はここで一時停止をしてください。

準備はできましたか。では、解いていきましょう。

円の面積の問題[問1]

見ていきましょう!

円の面積の解説[問1(1)]

それでは本日、円の面積について答えていきたいので、円の面積について先に説明していきたいと思います。

中学生から先は、円周率πを使って円の面積を求めていきます。

それでは見ていきましょう!

円周率とは、円の円周と直径との比の値のことを円周率と言います。

円周率の値は、3.14159265…と続く値だということが分かっています。
2020年には31.4兆桁まで続くことがわかっています。
(この知識は絶対テストに出ないのでスルーしてOKです。)

小学生のときは、この円周率を3.14として扱っていることが多いかと思いますが、中学生からは、何と円周率はギリシャ文字πを使って表すことができます。

3.14で計算せず、文字を置くだけでOKになるのでめちゃくちゃ楽になります!

実際にこのπ、どうやって使うかというと、この図のような半径をr、円の面積をSとする円があるとき、
円の面積の公式は 円の面積=半径×半径×円周率 となっているので、
円の面積にSを代入、半径にはrを代入、円周率にはπを代入してあげると、S=r×r×π となります。

計算をしてあげると、S=πr²と書くことができます。
こちらが円の面積の公式になります。
覚えておきましょう!

ちなみに、ここでひとつ注意点があります。
πは数字と文字の間に置こう、ということで、πの配置は数字よりは後ろ、abcのようなアルファベットよりは前に置いてあげましょう。

こちら、よく間違える方がいるので注意してください。

それでは今回の問題、半径が5cmの円の面積を求めていきましょう。

円の面積の公式は、半径×半径×円周率であり、文字で置くとπr²でした。

今回、半径が5cmなので、rに5を代入してあげるとこのようになり、計算をしてあげると25πcm²であるということがわかります。

このとき、先ほど説明した通り、πは数字より後においてあげましょう。
なので、25より後に置いてあげればOKです。

円の面積の解説[問1(2)]

では次、(2)、円周の長さが40πcmである円の面積を求めていきましょう。

円の面積を求めるためには半径の長さが必要になるので、円周の長さから半径rを求めていきましょう。

円周を求める公式は、円周をlとしたとき、l=2πrで求めることができます。

円周の長さは、直径×円周率で求めることができました。

こちらの公式が、わからないよ、忘れちゃったよー、という方は、概要欄の解説動画(1)をチェックしてみてください!

それでは、問題文を見てみると、今回の円周の長さは40πcmであることが分かるので、円周lの部分に40πを代入してあげるとこのようになります。
今回求めたいのは半径rなので、rについている邪魔な2πを両辺から割ってあげましょう。

そうすると、rの値は40π/2πとなり、2πで約分をしてあげると、rの値は20cmであるということがわかりました。

それでは、半径rの値が求まったので、半径rから円の面積を求めていきましょう。

円の面積の公式はS=πr²でした。
こちらのrに20を代入してあげて、計算をしてあげると答えは400πcm²である、ということがわかります。

πは数字より後に書いてあげましょう。

円の面積の問題[問2]

見ていきましょう!

円の面積の解説[問2(1)]

それではこちらも、円の面積の公式に乗っ取ってあげて、y=πx²となります。
円の面積は、半径×半径×円周率でした。

今回、円の面積はyなのでyを代入してあげて、半径の値はxなので、x²を代入してあげましょう。

円の面積の解説[問2(2)]

それでは次、(2)、半径が2倍になると面積は何倍になりますか。

見ていきましょう!

それでは、最初の円を y₁=πx₁² として計算をしていきましょう。

それでは見ていきましょう!

最初の円を y₁=πx₁² として計算をしていくとき、半径が2倍になったときの円の面積の公式は、 y₂=πx₂² としておきましょう。

y₁やy₂、x₁やx₂は番号だと思ってください。
一つ目の円の面積だからy₁、2つ目の円の面積だからy₂みたいな感じで捉えておいてください。

そして今回、このx₂、二つ目の円の半径ですが、こちらは1つ目の円の半径x₁の2倍なので、x₂は2x₁であるということが分かります。

なので、こちらを代入してあげるとこのようになります。
(2x₁)²を計算してあげると2×2で4、x₁×x₁でx₁²となり、このように表せます。

この時πは数字より後ろ、xより前においてあげましょう。

なので、このようになります。

πx₁²はx₁×x₁×円周率であるということなので、半径×半径×円周率になっています。

よって、一つ目の円の面積であるy₁であるということがわかります。

なので、こちらを代入してあげると y₂=4y₁ となります。

よって、二つ目の円の面積であるy₂は、一つ目の円の面積であるy₁の4倍した値ということが分かるので、半径が2倍になると、面積は4倍になるということがわかります。

少し難しいと感じた人は、コメントで教えてください!

 

本日の授業はいかがでしたでしょうか?

出来た! 出来ない…!など、コメントで教えてください!

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本日もご視聴ありがとうございました!

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