動点の問題は、点が動く場所によって図形の形が変わるので、最初から式を立てようとすると混乱しやすい単元です。
この記事では、正方形の辺上を動く2点P・Qがつくる三角形APQの面積を、図を分けて考える方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
一辺が12cmの正方形ABCDがあります。
点Pは、辺AD上をAからDまで毎秒2cmの速さで動き、Dに着くと停止します。
点Qは、正方形の辺上をAからB、Cを通ってDまで毎秒3cmの速さで動き、Dに着くと停止します。
点P、点QがAを同時に出発してからx秒後の三角形APQの面積をycm²とします。
動画では、次の内容を考えました。
- x = 3のときのyの値を求めなさい。
- x = 6のときのyの値を求めなさい。
- 0≦x≦4のとき、yをxの式で表しなさい。
- 4≦x≦6のとき、yをxの式で表し、yの変域を求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: x = 3のときの位置を考える
xは、点Pと点Qが出発してからの秒数を表しています。
x = 3なので、出発してから3秒後の位置を考えます。
点Qは毎秒3cmで動くので、AQの長さは次のようになります。
3 × 3 = 9
つまり、AQ = 9cmです。
点Pは毎秒2cmで動くので、APの長さは次のようになります。
2 × 3 = 6
つまり、AP = 6cmです。
このとき三角形APQは、底辺をAP、高さをAQとして考えられます。
y = 6 × 9 × 1/2
y = 27
x = 3のとき、y = 27cm²
動点の問題では、まず何秒後にどこまで進んだかを図に書き込むことが大切です。
ステップ2: x = 6のときの位置を考える
x = 6なので、出発してから6秒後を考えます。
点Qは毎秒3cmで動くので、Aからの移動距離は次のようになります。
3 × 6 = 18
正方形の一辺ABは12cmなので、QはBを通り過ぎています。
18 − 12 = 6
つまり、QはBからCの方向へ6cm進んだところにいます。
点Pは毎秒2cmで動くので、APの長さは次のようになります。
2 × 6 = 12
つまり、PはちょうどDに着いています。
このとき三角形APQは、底辺をADの12cm、高さを正方形の横の長さ12cmとして考えます。
y = 12 × 12 × 1/2
y = 72
x = 6のとき、y = 72cm²
ステップ3: 0≦x≦4の式をつくる
0≦x≦4のとき、点QはAからBまでの辺AB上にいます。
なぜなら、Qは毎秒3cmで進み、4秒後に3 × 4 = 12cm進んでBに着くからです。
この範囲では、AQの長さは次のように表せます。
AQ = 3x
同じように、APの長さは次のように表せます。
AP = 2x
三角形APQの面積は、底辺 × 高さ × 1/2で求めます。
y = 2x × 3x × 1/2
y = 3x²
0≦x≦4のとき、y = 3x²
数字の3秒や4秒で考えたことを、x秒に置きかえると式がつくれます。
ステップ4: 4≦x≦6の式と変域を考える
4≦x≦6のとき、点QはBからCまでの辺BC上にいます。
この範囲では、QがBC上のどこにいても、三角形APQの高さは正方形の一辺である12cmのままです。
点PはまだAD上を動いているので、APの長さは次のように表せます。
AP = 2x
したがって、三角形APQの面積は次のようになります。
y = 2x × 12 × 1/2
y = 12x
4≦x≦6のとき、y = 12x
次に、yの変域を求めます。
xが4以上6以下なので、y = 12xにx = 4とx = 6を代入します。
x = 4のとき、y = 12 × 4 = 48
x = 6のとき、y = 12 × 6 = 72
よって、yの変域は次のようになります。
48≦y≦72
よくあるミス・つまずきポイント
Qの移動距離をそのままAQの高さとして使ってしまうミスに注意しましょう。
x = 6のとき、Qは18cm進んでいますが、ABは12cmなので、QはすでにBを通過しています。
そのため、Qがどの辺上にいるのかを必ず確認します。
場合分けをせずに1つの式だけで最後まで進めようとするのも、よくあるつまずきです。
0≦x≦4ではQがAB上、4≦x≦6ではQがBC上にいるので、三角形の見方が変わります。
動点問題は、点がどの辺にいるかで式が変わる問題だと考えると整理しやすくなります。
まとめ
- 動点問題では、まず「何秒後に何cm進むか」を速さ × 時間で求めます。
- x = 3では、AP = 6cm、AQ = 9cmなので、y = 27cm²です。
- 0≦x≦4では、AP = 2x、AQ = 3xより、y = 3x²です。
- 4≦x≦6では、高さが12cmになるので、y = 12x、変域は48≦y≦72です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
あわせて読みたい
動画でくわしく確認する
この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
わからない問題は無料で質問できます
「ここがまだ分からない」「似た問題も解いてほしい」というときは、オンライン学習塾Lafの公式LINEへどうぞ。写真を送るだけで、あなたの分からない問題に無料で直接お答えします。
関連記事