連続する3つの自然数の文章題は、「何を文字でおくか」が分からず止まりやすい問題です。
特に、真ん中の数・小さい数・大きい数をどう表すかで迷う人が多いです。
この記事では、真ん中の数をnとおいて、問題文を二次方程式に直し、答えを求める流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
連続する3つの自然数があります。真ん中の数の2乗は、最も小さい数と最も大きい数の和の4倍と等しくなります。
このとき、次の問いに答えなさい。
- 真ん中の数を自然数nとして、方程式を作りなさい。
- その方程式を解いて、連続する3つの自然数を求めなさい。
たとえば、7、8、9のように、1ずつ続いている自然数を「連続する3つの自然数」といいます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 真ん中の数をnとおく
連続する3つの自然数を考えるときは、真ん中の数を文字でおくと計算がしやすくなります。
今回は、真ん中の数をnとおきます。
すると、真ん中より1小さい数はn − 1、真ん中より1大きい数はn + 1と表せます。
最も小さい数：n − 1
真ん中の数：n
最も大きい数：n + 1
連続する3つの数は、真ん中をnにすると「n − 1、n、n + 1」とすっきり表せます。
ステップ2: 問題文を方程式にする
問題文の「真ん中の数の2乗」は、n²です。
また、「最も小さい数と最も大きい数の和」は、(n − 1) + (n + 1)です。
その4倍なので、4{(n − 1) + (n + 1)}と表せます。
「等しい」とあるので、イコールで結びます。
n² = 4{(n − 1) + (n + 1)}
これが、真ん中の数をnとしたときの方程式です。
ステップ3: 二次方程式を解く
できた方程式を計算していきます。
n² = 4{(n − 1) + (n + 1)}
(n − 1) + (n + 1) = 2n
n² = 4 × 2n
n² = 8n
ここで、両辺をnで割ってしまわないように注意します。nが0の可能性をまだ消していないので、勝手に割るのは危険です。
右辺を左辺に移項します。
n² − 8n = 0
共通因数のnでくくります。
n(n − 8) = 0
よって、n = 0 または n = 8 です。
ステップ4: n = 0を答えから外す
ここで、n = 0をそのまま答えにしてはいけません。
問題は自然数についての問題です。自然数は1、2、3、…のような正の整数なので、0は入りません。
また、n = 0だと、3つの数は−1、0、1となり、自然数だけの組になりません。
したがって、真ん中の数はn = 8です。
小さい数は8 − 1 = 7、大きい数は8 + 1 = 9です。
答えは 7、8、9
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: 連続する3つの数の表し方で迷う
小さい数をn、次をn + 1、大きい数をn + 2としても解けますが、今回のように「真ん中の数」が問題文に出てくるときは、真ん中をnにするほうが考えやすいです。
文章題では、問題文で中心になっている数を文字でおくと式を作りやすくなります。
ミス2: n² = 8nをnで割ってしまう
n² = 8nを見て、すぐに両辺をnで割ると、n = 0という解を見落とすことがあります。
二次方程式では、まずすべて左辺に集めて、n² − 8n = 0の形にし、共通因数でくくるのが安全です。
まとめ
- 連続する3つの自然数は、真ん中をnとするとn − 1、n、n + 1と表せます。
- 「真ん中の数の2乗」はn²、「小さい数と大きい数の和の4倍」は4{(n − 1) + (n + 1)}です。
- 方程式はn² = 4{(n − 1) + (n + 1)}となり、解くとn = 0、8です。
- 0は自然数ではないので、答えは7、8、9です。
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