平方根の計算で、分母に√がいくつも出てくると「どこから計算すればいいのか」がわかりにくくなります。
この記事では、分母の一部をひとまとまりとして見て、通分と約分で計算を進める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の式を計算しなさい。
1/(√6 – √2 – 2) + 1/(√6 + √2 + 2)
分母に√6、√2が出てくるので複雑に見えますが、ポイントは√2 + 2をひとまとまりとして見ることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: √2 + 2をひとまとまりとして見る
まず、分母の形を見やすくするために、√2 + 2を1つのかたまりとして考えます。
√6 – √2 – 2 = √6 – (√2 + 2)
√6 + √2 + 2 = √6 + (√2 + 2)
複雑な式は、同じ形の部分を「かたまり」として見ると計算しやすくなります。
ステップ2: 通分して分子を整理する
2つの分数の分母は、√6 – (√2 + 2) と √6 + (√2 + 2) です。
通分すると、分母は2つの分母の積になります。
分子は、それぞれ相手の分母をかけたものの和になります。
1/(√6 – √2 – 2) + 1/(√6 + √2 + 2)
= (√6 + √2 + 2 + √6 – √2 – 2)/{(√6 – √2 – 2)(√6 + √2 + 2)}
分子では、+√2と-√2、+2と-2が打ち消し合います。
= 2√6/{(√6 – (√2 + 2))(√6 + (√2 + 2))}
ステップ3: 和と差の積で分母を計算する
分母は、(a – b)(a + b) の形になっています。
この形では、(a – b)(a + b) = a² – b² を使います。
(√6 – (√2 + 2))(√6 + (√2 + 2))
= (√6)² – (√2 + 2)²
= 6 – (√2 + 2)²
次に、(√2 + 2)²を展開します。
(√2 + 2)² = (√2)² + 2 × √2 × 2 + 2²
= 2 + 4√2 + 4
= 6 + 4√2
よって、分母は次のようになります。
6 – (6 + 4√2)
= -4√2
ステップ4: √6を分解して約分する
ここまでで、式は次の形になります。
2√6/(-4√2)
√6は、√3 × √2 と分解できます。
2√6/(-4√2) = 2√3√2/(-4√2)
√2を約分し、2と4も約分します。
= -√3/2
答えは -√3/2
最後に2√6のまま考えるより、√6 = √3 × √2 と分けると、有理化の手順を減らして楽に計算できます。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、√2 + 2をかたまりで見られず、分母の形を見失ってしまうことです。
√6 – √2 – 2は、√6 – (√2 + 2) と見れば、和と差の積が使える形になります。
分母が「同じ部分の足し算と引き算」になっていないかを確認することが大切です。
2つ目は、(√2 + 2)²の展開で、真ん中の4√2を忘れることです。
(√2 + 2)² = 2 + 4√2 + 4 なので、6 + 4√2になります。
まとめ
- √2 + 2をひとまとまりとして見ると、分母の形が整理しやすくなります。
- 通分すると、分母は和と差の積になり、a² – b²が使えます。
- √6 = √3 × √2 と分解すると、√2で約分できます。
- 今回の答えは -√3/2 です。
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