平方根の式で、ルートの外にある文字をどう扱えばよいか迷うことがあります。
特に「すべて求めなさい」と書かれている問題では、1つ見つけただけで終わらないことが大切です。
この記事では、√(ab) = c√a から条件を整理して、考えられる c の値をすべて求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
a、b、c は正の整数とします。
1≦b≦9で、√(ab) = c√a が成り立つとき、考えられる c の値をすべて求めなさい。
ポイントは、c√a の c をルートの中に入れて、左辺と比べやすい形にすることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: c√a をルートの中に入れる
まず、右辺の c√a は、c × √a という意味です。
c をルートの中に入れるときは、2乗して入れます。
c = √(c²)
なので、c√a は次のように表せます。
c√a = √(c²) × √a
√(c²) × √a = √(ac²)
c√a = √(ac²)
ルートの外の数を中に入れるときは、その数を2乗するのがポイントです。
ステップ2: 両辺を2乗してルートを外す
もとの式は、√(ab) = c√a です。
ステップ1より、右辺を √(ac²) と書けます。
√(ab) = √(ac²)
両辺を2乗すると、ルートが外れます。
ab = ac²
ここで、a は正の整数なので 0 ではありません。
そのため、両辺を a で割ることができます。
ab ÷ a = ac² ÷ a
b = c²
この問題は、最終的に b = c² まで整理できるかが大きな分かれ目です。
ステップ3: 1≦b≦9 に合う c を調べる
b = c² なので、c を2乗した値が b になります。
また、c は正の整数なので、1、2、3、4、…と順番に調べればよいです。
c = 1 のとき、c² = 1 なので b = 1 です。
c = 2 のとき、c² = 4 なので b = 4 です。
c = 3 のとき、c² = 9 なので b = 9 です。
c = 4 のとき、c² = 16 となり、b は 9 をこえてしまいます。
したがって、1≦b≦9 を満たすのは c = 1、2、3 のときだけです。
答えは c = 1、2、3
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: c をルートの中に入れるときに2乗し忘れる
c√a を √(ca) としてしまうのはよくあるミスです。
ルートの外の c を中に入れるときは、c ではなく c² にします。
c√a = √(ac²) であって、√(ac) ではありません。
ミス2: ab = ac² から a で割ることを忘れる
両辺を2乗したあと、ab = ac² で止まってしまうと、b と c の関係が見えにくいです。
この問題では a が正の整数なので、a は 0 ではありません。
だから両辺を a で割って、b = c² と整理できます。
ミス3: 「すべて求めなさい」で1つだけ答える
問題文に「すべて」とあるときは、答えが複数ある可能性を考えます。
今回は c = 1 だけで終わらず、c = 2、c = 3 まで確認する必要があります。
まとめ
- c√a は、c を2乗してルートの中に入れると √(ac²) と表せます。
- √(ab) = √(ac²) の両辺を2乗すると、ab = ac² になります。
- a は正の整数なので、両辺を a で割って b = c² と整理できます。
- 1≦b≦9 より、条件を満たす c は 1、2、3 です。
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