平方根の中に分数がある問題では、「自然数になる」という条件をどう使えばよいか迷いやすいです。
この記事では、√((50 – 2n)/3) が自然数になるときの自然数 n を、条件を整理しながら求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の値が自然数となるとき、自然数 n の値をすべて求めなさい。
√((50 – 2n)/3)
ここでの自然数は、0や負の数を含まない正の整数のことです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 自然数になる条件を確認する
√((50 – 2n)/3) が自然数になるには、まず分数のままではいけません。
つまり、50 – 2n が3の倍数になり、分母の3と約分できる必要があります。
さらに、ルートの中に残る数は、ルートが外れる形でなければなりません。
平方根が自然数になるには、「分数ではないこと」と「ルートが外れること」の2つを考えます。
ステップ2: 分子を 3x² とおく
50 – 2n が3の倍数で、しかも約分したあとにルートが外れるには、分子を 3 × 何かの2乗 と考えます。
そこで、自然数 x を使って次のようにおきます。
50 – 2n = 3x²
こうすると、(50 – 2n)/3 = x² となり、√x² = x になるので自然数にできます。
ステップ3: n = の形に直す
次に、50 – 2n = 3x² を n について解きます。
50 – 2n = 3x²
2n = 50 – 3x²
n = 25 – 3x²/2
ここで n も自然数なので、3x²/2 が分数のまま残ると困ります。
n を整数にするために、x は2の倍数にしぼって考えます。
ステップ4: x に2の倍数を代入する
x は自然数で、しかも2の倍数なので、小さい順に x = 2, 4, 6, … と試します。
x = 2 のとき
n = 25 – 3×2²/2
n = 25 – 12/2
n = 25 – 6
n = 19
x = 4 のとき
n = 25 – 3×4²/2
n = 25 – 48/2
n = 25 – 24
n = 1
x = 6 のときは、3×6²/2 = 54 なので、n = 25 – 54 となり負の数になります。
n は自然数でなければならないので、x = 6 以上は考えなくてよいです。
したがって、答えは n = 19、1 です。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、自然数を「0以外の整数」とだけ覚えてしまうことです。
負の整数は自然数ではないので、正の整数と覚えておきましょう。
2つ目は、50 – 2n が3の倍数なら終わりだと思ってしまうことです。
3で割り切れるだけでなく、割ったあとの数が何かの2乗になっている必要があります。
そのため、50 – 2n = 3x ではなく、50 – 2n = 3x² とおくのがポイントです。
まとめ
- 自然数とは、0や負の数を含まない正の整数です。
- √((50 – 2n)/3) が自然数になるには、分数にならずルートが外れる必要があります。
- 分子を 50 – 2n = 3x² とおくと、条件を式で整理できます。
- x = 2, 4 を調べて、答えは n = 19、1 になります。
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