展開の問題で、どこからかければよいのか迷うことはありませんか。
特に、項が多い式や公式が使える式は、手順を知らないと計算ミスが増えやすいです。
この記事では、分配法則で確実に展開する方法と、3乗の公式に気づいて速く解く方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の式を展開しなさい。
1. (x³ + x − 3)(x² − 2x + 2)
2. (3 − 2a)(4a² + 6a + 9)
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 1問目は分配法則で全部かける
1問目は、公式を無理に探すよりも、まず分配法則で1つずつかけるのが確実です。
前のかっこの各項を、後ろのかっこの3つの項すべてにかけます。
x³をかける部分は、次のようになります。
x³ × x² = x⁵
x³ × (−2x) = −2x⁴
x³ × 2 = 2x³
次に、xをかける部分です。
x × x² = x³
x × (−2x) = −2x²
x × 2 = 2x
最後に、−3をかける部分です。
−3 × x² = −3x²
−3 × (−2x) = 6x
−3 × 2 = −6
ステップ2: 同類項を次数ごとに整理する
出てきた項を、x⁵、x⁴、x³、x²、x、定数項の順に並べて整理します。
x⁵ − 2x⁴ + 2x³ + x³ − 2x² − 3x² + 2x + 6x − 6
x³の項は、2x³ + x³ = 3x³です。
x²の項は、−2x² − 3x² = −5x²です。
xの項は、2x + 6x = 8xです。
(x³ + x − 3)(x² − 2x + 2) = x⁵ − 2x⁴ + 3x³ − 5x² + 8x − 6
ステップ3: 2問目は3乗の公式を疑う
2問目も分配法則で解けますが、もっと速く解ける形になっています。
見るべきポイントは、2つの項があるかっこと、3つの項があるかっこの組み合わせです。
「2項のかっこ」×「3項のかっこ」が出たら、3乗の公式になっていないか確認します。
使う公式は、次の形です。
(A − B)(A² + AB + B²) = A³ − B³
今回の式では、3 − 2aなので、A = 3、B = 2a と見ることができます。
A² = 3² = 9
AB = 3 × 2a = 6a
B² = (2a)² = 4a²
後ろのかっこは 4a² + 6a + 9 なので、順番は公式と逆に見えます。
しかし、足し算は順番を入れ替えても同じなので、9 + 6a + 4a² と考えれば公式の形です。
ステップ4: A³ − B³ に当てはめる
公式に気づけたら、あとはA³ − B³を計算するだけです。
3³ = 27
(2a)³ = 8a³
したがって、答えは次のようになります。
(3 − 2a)(4a² + 6a + 9) = 27 − 8a³
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目のミスは、分配法則でかけ忘れをすることです。
特に、(x³ + x − 3) の真ん中のxや、最後の−3を後ろの3項すべてにかけるのを忘れやすいです。
展開では「前の各項を、後ろのすべての項にかける」と意識しましょう。
2つ目のミスは、3乗の公式の順番だけを見て「使えない」と判断してしまうことです。
4a² + 6a + 9 は、公式の A² + AB + B² の順番とは違って見えます。
しかし、足し算なので 9 + 6a + 4a² と並べ替えられ、3乗の公式が使えます。
まとめ
- 項が多い展開は、分配法則で1つずつかけると確実です。
- 展開したあとは、xの次数ごとに同類項を整理します。
- 「2項のかっこ」×「3項のかっこ」は、3乗の公式を確認します。
- 順番が入れ替わっていても、足し算なら公式の形に直して考えられます。
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