多項式の展開で「x⁴の係数だけ」「x³の係数だけ」を聞かれると、全部展開してから探したくなる人は多いです。
でも、必要な次数になる組み合わせだけを選べば、計算をかなり短くできます。
この記事では、展開の組み合わせに注目して、x⁴とx³の係数を効率よく求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の式を展開したときの、x⁴の係数およびx³の係数を求めなさい。
(x³ − 4x² + 3x − 1)(x² − 5x + 2)
今回のポイントは、式全体を最後まで展開するのではなく、ほしい次数になる項の組み合わせだけを見ることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 展開を「1つずつ選んでかける」と考える
左のかっこには、x³、−4x²、3x、−1の4つの項があります。
右のかっこには、x²、−5x、2の3つの項があります。
展開とは、左のかっこから1つ、右のかっこから1つを選んでかけ、その結果をすべて足す計算です。
つまり、x⁴やx³になる組み合わせだけを探せば、全部を展開しなくても係数が求められます。
ステップ2: x⁴になる組み合わせを探す
まず、左からx³を選ぶと、x⁴にするには右から−5xを選ぶ必要があります。
x³ × (−5x) = −5x⁴
次に、左から−4x²を選ぶと、x⁴にするには右からx²を選びます。
(−4x²) × x² = −4x⁴
左から3xを選んだ場合、右にx³の項がないのでx⁴は作れません。
左から−1を選んだ場合も、右にx⁴の項がないのでx⁴は作れません。
したがって、x⁴の項は次の2つだけです。
−5x⁴ + (−4x⁴) = −9x⁴
x⁴の係数は−9
ステップ3: x³になる組み合わせを探す
同じように、今度はx³になる組み合わせだけを見ます。
左からx³を選ぶと、右からは定数の2を選べばx³になります。
x³ × 2 = 2x³
左から−4x²を選ぶと、右から−5xを選べばx³になります。
(−4x²) × (−5x) = 20x³
左から3xを選ぶと、右からx²を選べばx³になります。
3x × x² = 3x³
左から−1を選ぶ場合、右にx³の項がないのでx³は作れません。
これでx³になる組み合わせはすべて出ました。
2x³ + 20x³ + 3x³ = 25x³
x³の係数は25
よくあるミス・つまずきポイント
全部展開して計算が長くなる
もちろん全部展開しても答えは出せますが、項の数が多いので計算ミスが起こりやすくなります。
今回のように係数だけを聞かれているときは、必要な次数になる組み合わせだけにしぼるのが大切です。
存在しない項をあるものとして考えてしまう
たとえば、x⁴を作るときに3xを選ぶと、右側にx³が必要です。
しかし、右のかっこはx² − 5x + 2なので、x³の項はありません。
このように、相手のかっこに必要な次数の項があるかを必ず確認しましょう。
まとめ
- 展開は、左のかっこから1つ、右のかっこから1つ選んでかける計算です。
- x⁴の係数は、x⁴になる組み合わせだけを集めて−9です。
- x³の係数は、x³になる組み合わせだけを集めて25です。
- 係数だけを求める問題では、全部展開せずに次数へ注目すると計算が短くなります。
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