無理数の大小比較では、√がついたままだとどちらが大きいのか判断しにくいことがあります。
この記事では、A=2+√14、B=1+√17の大小を、動画で扱った2つの方法で確認します。
この記事でわかることは、2乗して比べる方法と、小数第1位で見積もる方法です。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の2つの数の大小を比較しなさい。
A = 2 + √14
B = 1 + √17
次の方法で比較します。
- A²とB²を使って比較する。
- √14と√17の小数第1位の数を考えて比較する。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 2乗してよい条件を確認する
まず、2乗して大小を比べるときは、AとBがどちらも0より大きいことを確認します。
マイナスの数が混ざると、2乗したあとに大小関係が変わってしまうことがあるからです。
今回のAは2+√14なので正の数です。
今回のBも1+√17なので正の数です。
AとBがどちらも正の数なので、A²とB²を比べればAとBの大小も比べられます。
ステップ2: A²とB²を計算する
まずA²を計算します。
A² = (2 + √14)²
A² = 2² + 2×2×√14 + (√14)²
A² = 4 + 4√14 + 14
A² = 18 + 4√14
次にB²を計算します。
B² = (1 + √17)²
B² = 1² + 2×1×√17 + (√17)²
B² = 1 + 2√17 + 17
B² = 18 + 2√17
どちらも18がついているので、あとは4√14と2√17を比べればよいです。
ステップ3: 残ったルート部分を比べる
4√14と2√17を比べます。
両方を2で割って、2√14と√17を比べます。
2√14 = √4 × √14
2√14 = √56
つまり、√56と√17を比べればよいです。
ルートの中の数は56の方が17より大きいので、√56 > √17です。
したがって、2√14 > √17です。
もとの形に戻すと、4√14 > 2√17です。
よって、A² = 18 + 4√14 の方が、B² = 18 + 2√17 より大きいです。
AとBはどちらも正の数なので、A² > B² なら A > B です。
答えは A > B です。
ステップ4: 小数第1位で見積もって比べる
次に、√14と√17を小数第1位で見積もる方法です。
√14は、√9=3と√16=4の間にあります。
14は16に近いので、3.7や3.8あたりを調べます。
3.7² = 13.69
3.8² = 14.44
13.69 < 14 < 14.44 なので、3.7 < √14 < 3.8 です。
次に√17を考えます。
√17は、√16=4と√25=5の間にあります。
17は16に近いので、4.1や4.2あたりを調べます。
4.1² = 16.81
4.2² = 17.64
16.81 < 17 < 17.64 なので、4.1 < √17 < 4.2 です。
ここからAとBを比べます。
A = 2 + √14 なので、A > 2 + 3.7 です。
A > 5.7
B = 1 + √17 なので、B < 1 + 4.2 です。
B < 5.2
Aは5.7より大きく、Bは5.2より小さいので、Aの方が大きいとわかります。
下限と上限をうまく使うと、小数の見積もりでも確実に大小を判断できます。
小数で見積もっても A > B です。
よくあるミス・つまずきポイント
2乗すればいつでも比べられると思ってしまう
2乗して大小を比べられるのは、比べる2つの数がどちらも正の数だと確認できるときです。
たとえば、-7と5では、もとの大小と2乗したあとの大小が逆のように見えてしまいます。
今回のようにAもBも正の数だとわかってから、2乗して比べましょう。
小数の見積もりで不等式の向きを間違える
√14 > 3.7 から A > 5.7 は言えます。
ただし、√17 > 4.1 から B > 5.1 だけを言っても、AとBの大小は決まりません。
比較したいときは、Aの下限とBの上限のように、結論が出る形で不等式を使うことが大切です。
まとめ
- AとBがどちらも正の数なら、A²とB²を比べて大小比較ができます。
- A² = 18 + 4√14、B² = 18 + 2√17 になります。
- 4√14 > 2√17 なので、A² > B²、つまり A > B です。
- 小数で見積もると、A > 5.7、B < 5.2 となり、やはり A > B です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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