文字が2種類ある式では、「xに着目する」と言われたときに何をすればよいか迷いやすいです。
この記事では、A=x²+y、B=2+y−y²、C=4x+1を使って、因数分解と、xについて整理したときの係数・定数項の求め方を解説します。
ポイントは、yを含む式を「xの係数」として見ることです。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
A=x²+y、B=2+y−y²、C=4x+1とします。
次の問いに答えなさい。
- A+B+Cを因数分解せよ。
- ABCを展開した多項式は、xに着目すると何次式か。また、そのときのxの項の係数と定数項を求めよ。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: A+B+Cに代入して整理する
まずは、A、B、Cの中身をそのまま代入します。
A+B+C = (x²+y)+(2+y−y²)+(4x+1)
= x²+4x−y²+2y+3
ここから、xの部分とyの部分をそれぞれ平方の形に近づけます。
x²+4x = (x+2)²−4
−y²+2y = −(y−1)²+1
これを使うと、定数の−4、+1、+3が合わさって0になります。
x²+4x−y²+2y+3 = (x+2)²−(y−1)²
これは平方の差の形です。
(x+2)²−(y−1)² = {(x+2)+(y−1)}{(x+2)−(y−1)}
= (x+y+1)(x−y+3)
A+B+C = (x+y+1)(x−y+3)
ステップ2: ABCはすべて展開せず、xに着目して整理する
次に、ABCを考えます。
ABC = (x²+y)(2+y−y²)(4x+1)
ここで、B=2+y−y²にはxが入っていません。
xに着目するときは、2+y−y²をひとまとまりの係数のように扱います。
まず、xが入っている部分だけを展開します。
(x²+y)(4x+1) = 4x³+x²+4xy+y
したがって、ABCは次のように書けます。
ABC = (2+y−y²)(4x³+x²+4xy+y)
これをxの次数ごとに並べます。
= 4(2+y−y²)x³+(2+y−y²)x²+4y(2+y−y²)x+y(2+y−y²)
いちばん高い次数はx³なので、xに着目すると3次式です。
xに着目すると3次式
ステップ3: xの項の係数と定数項を求める
「xの項」とは、xが1つだけついている項のことです。
今回の式では、4y(2+y−y²)x がxの項です。
そのため、xの項の係数は 4y(2+y−y²) です。
4y(2+y−y²) = 8y+4y²−4y³
= −4y³+4y²+8y
xの項の係数は −4y³+4y²+8y
定数項は、xがついていない項です。
今回の定数項は y(2+y−y²) です。
y(2+y−y²) = 2y+y²−y³
= −y³+y²+2y
定数項は −y³+y²+2y
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、xに着目しているのに、yも文字だからといって混乱してしまうことです。
この問題では、yを含む式でも、xがついていなければxについての係数や定数項として扱います。
2つ目は、「xの項の係数」と「x²の項の係数」「x³の項の係数」を混ぜてしまうことです。
xの項の係数を聞かれたら、x¹の項だけを見ます。
今回なら、x³やx²の項は関係ありません。
まとめ
- A+B+Cは、平方の差を使って (x+y+1)(x−y+3) と因数分解できます。
- ABCでは、xが入っていない 2+y−y² をひとまとまりで考えると整理しやすいです。
- xに着目すると、ABCは3次式です。
- xの項の係数は −4y³+4y²+8y、定数項は −y³+y²+2y です。
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