二次方程式に文字 a が入っていると、どこから手をつければよいか迷いやすいです。
特に「解の1つが -4」と書かれている問題では、-4をどう使うかがポイントになります。
この記事では、解を代入して a を求め、そこからもう1つの解を見つける流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
xについての二次方程式 x² + ax + 3a = 0 の解の1つが -4 のとき、次の問いに答えなさい。
- aの値を求めなさい。
- もう1つの解を求めなさい。
この問題では、まず解の1つが -4という条件を使って a を求めます。
そのあと、求めた a をもとの二次方程式に代入して、ふつうの二次方程式として解きます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: x = -4 を代入して a を求める
「解の1つが -4」とは、x = -4 を入れると方程式が成り立つという意味です。
xのところには、ax の x だけでなく、x² の x にも -4 を代入します。
x² + ax + 3a = 0
(-4)² + a×(-4) + 3a = 0
16 – 4a + 3a = 0
16 – a = 0
-a = -16
a = 16
これで、1つ目の答えとして a の値は 16 だとわかりました。
ステップ2: a = 16 をもとの式に入れる
次に、求めたa = 16をもとの式 x² + ax + 3a = 0 に代入します。
x² + 16x + 3×16 = 0
x² + 16x + 48 = 0
ここからは、x² + 16x + 48 = 0 という二次方程式を解けばよいです。
ステップ3: わかっている解を使って因数分解する
x² + 16x + 48 を因数分解するときは、かけて48、足して16になる2つの数を考えます。
ただし今回は、解の1つが -4 とすでにわかっています。
x = -4 が解なら、因数の1つは x + 4 になります。
なぜなら、x + 4 = 0 のとき x = -4 になるからです。
もう1つの因数を考えると、4に何をかけると48になるかを見ます。
4×12 = 48
4 + 12 = 16
したがって、因数分解は次のようになります。
x² + 16x + 48 = (x + 4)(x + 12)
(x + 4)(x + 12) = 0
x + 4 = 0 または x + 12 = 0
x = -4 または x = -12
問題で聞かれているのは「もう1つの解」なので、-4ではない方を答えます。
もう1つの解は -12
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: x²に -4 を代入し忘れる
この問題で一番多いミスは、ax の x だけに -4 を入れて、x² の部分をそのままにしてしまうことです。
xについての方程式なので、xが出てくる場所すべてに -4 を代入します。
また、(-4)² は 16 です。
-4を2乗するとプラスになるので、ここも注意しましょう。
ミス2: 解が -4 なのに x – 4 としてしまう
因数分解で、解が -4 だとわかっているとき、対応する因数はx + 4です。
x – 4 = 0 なら x = 4 になってしまうので、符号が逆になります。
「因数の中の符号」と「解の符号」は反対になることを確認しましょう。
まとめ
- 「解の1つが -4」とは、x = -4 を代入すると方程式が成り立つという意味です。
- x² + ax + 3a = 0 に x = -4 を代入すると、a = 16 になります。
- a = 16 をもとの式に入れると、x² + 16x + 48 = 0 になります。
- 因数分解すると (x + 4)(x + 12) = 0 なので、もう1つの解は -12 です。
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