平方根の中に分数がある問題では、「どこから考えればいいのか」で手が止まりやすいです。
この記事では、√(6125/k) が2以上の自然数になるとき、自然数kの最大値を求める考え方を解説します。
ポイントは、6125を素因数分解して、√の値ができるだけ小さい自然数になるように考えることです。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を解きます。
√(6125/k) が2以上の自然数となるような自然数kのうち、最も大きいものを求めなさい。
ただし、kは自然数とします。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 6125を素因数分解する
まず、√の中にある6125を素因数分解します。
6125 = 5 × 1225
1225 = 5 × 245
245 = 5 × 49
49 = 7 × 7
したがって、次のように表せます。
6125 = 5³ × 7²
平方根の問題では、同じ数が2個ずつあるかどうかを見るために、素因数分解がとても大切です。
ステップ2: kを最大にする考え方を整理する
√(6125/k) が自然数になるということは、√の中が平方数になればよいということです。
また、kを大きくすると、6125/k は小さくなります。
つまり、kを最も大きくしたいなら、√(6125/k) の値をできるだけ小さくしたいと考えます。
ただし、問題では「2以上の自然数」と決まっているので、√(6125/k) = 1 になる場合は使えません。
kを最大にするには、√の値を1ではなく、作れる中でいちばん小さい2以上の自然数にします。
ステップ3: 作れる平方根の値を考える
6125 = 5³ × 7² なので、√の外に出せる候補として、5や7が見えてきます。
もしk = 5³ × 7² としてしまうと、6125/k = 1 になります。
√1 = 1
しかし、これは「2以上の自然数」ではないのでダメです。
次に小さくできる自然数の値を考えると、5を作るのがいちばん小さいです。
7を作ることもできますが、5より大きいので、kを最大にするには5を選びます。
つまり、√(6125/k) = 5 になるようにすればよいです。
ステップ4: kの値を求める
√(6125/k) = 5 となるには、√の中が25になればよいです。
6125/k = 25
k = 6125 ÷ 25
k = 245
素因数分解で見ると、25 = 5² を√の中に残すということです。
6125 = 5³ × 7²
5²を残すので、kには残りの 5 × 7² を入れます。
k = 5 × 7²
k = 5 × 49
k = 245
確認すると、√(6125/245) = √25 = 5 となり、5は2以上の自然数です。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、kを6125にしてしまうミスです。
この場合、√(6125/6125) = √1 = 1 となります。
1は自然数ですが、問題の条件は「2以上」なので答えにはできません。
2つ目は、7を残してしまうミスです。
√の値を7にしても自然数にはなりますが、5にしたときより√の中の値が大きくなります。
そのぶんkは小さくなるので、「最も大きいk」を求める問題では5を残すほうを選びます。
「自然数になるか」だけでなく、「kが最大になるか」まで確認することが大切です。
まとめ
- 6125は、5³ × 7² と素因数分解できます。
- √(6125/k) を自然数にするには、√の中を平方数にします。
- kを最大にするには、√の値を1ではなく、作れる中で最小の2以上の自然数にします。
- 今回は√の値を5にするとよいので、答えは k = 245 です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
あわせて読みたい
動画でくわしく確認する
この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
わからない問題は無料で質問できます
「ここがまだ分からない」「似た問題も解いてほしい」というときは、オンライン学習塾Lafの公式LINEへどうぞ。写真を送るだけで、あなたの分からない問題に無料で直接お答えします。
関連記事