文字式の不等式では、a＞0、b＜0のような条件から、符号や大きさを読み取る力が大切です。
特に a＋b＜0 が出てくると、「結局どちらの絶対値が大きいのか」で迷いやすいです。
この記事では、a² と b² の大小、さらに a、b、−a、−b を小さい順に並べる考え方がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
条件は次の3つです。
a＞0、b＜0、a＋b＜0
このとき、次の問いに答えます。
① a² と b² の大小を、不等号を使って表しなさい。
② a、b、−a、−b を小さい方から順に書きなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: a と b の符号を確認する
まず、条件から a と b が正の数か負の数かを確認します。
a＞0 なので、a は正の数です。
b＜0 なので、b は負の数です。
不等式の問題では、最初に「正か負か」をはっきりさせることが大切です。
ステップ2: a＋b＜0 の意味を読み取る
次に、a＋b＜0 という条件を考えます。
a は正の数、b は負の数です。
それなのに a＋b が負の数になるということは、負の数である b の力の方が強いということです。
つまり、数直線で考えると、b は0から左に大きく離れていて、a よりも絶対値が大きいとわかります。
|b| ＞ |a|
a＋b＜0 は、「b の絶対値の方が a の絶対値より大きい」という意味で読み取ります。
ステップ3: a² と b² の大小を考える
a² は、正の数 a を2乗したものなので正の数です。
b² は、負の数 b を2乗したものなので、マイナス×マイナスで正の数になります。
どちらも正の数になりますが、2乗したときの大きさは絶対値が大きい方が大きくなります。
|b| ＞ |a|
なので、b² の方が a² より大きいです。
a² ＜ b²
ステップ4: a、b、−a、−b を小さい順に並べる
まず、それぞれの符号を確認します。
a は正の数です。
b は負の数です。
−a は、正の数 a にマイナスをつけるので負の数です。
−b は、負の数 b にマイナスをつけるので正の数です。
負の数は正の数より小さいので、先に b と −a を比べます。
b と −a はどちらも負の数ですが、|b| ＞ |a| なので、b の方が0から遠く、より小さい数になります。
したがって、負の数の中では b ＜ −a です。
次に、正の数である a と −b を比べます。
−b の大きさは |b| と同じなので、|b| ＞ |a| より、−b の方が a より大きいです。
したがって、正の数の中では a ＜ −b です。
b ＜ −a ＜ a ＜ −b
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、a＋b＜0 を見ても、絶対値の大小につなげられないことです。
a は正、b は負なので、足した結果が負になるなら、b の絶対値の方が大きいと考えます。
a＋b＜0 は、ただの計算条件ではなく、|b|＞|a| を教えてくれている条件です。
2つ目は、b² を負の数だと思ってしまうことです。
b は負の数ですが、b² は b×b なので正の数になります。
そのため、a² と b² はどちらも正の数として大小を比べます。
まとめ
- a＞0 から、a は正の数だとわかります。
- b＜0 から、b は負の数だとわかります。
- a＋b＜0 から、|b|＞|a| と読み取れます。
- 答えは a²＜b²、b＜−a＜a＜−b です。
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