碁石を正方形の外側に並べる問題では、図を全部かいて数えようとして時間がかかることがあります。
この記事では、n段n列のマス目の外側に置く碁石の個数を、文字式で表してから7段7列の場合を求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
n段n列のマス目があります。
このマス目の1段目とn段目、さらに1列目とn列目に、黒い碁石を1つずつ置きます。
つまり、マス目の外側を囲むように碁石を置くということです。
この規則にしたがって、7段7列のマス目に黒い碁石を置くとき、黒い碁石は全部で何個になりますか。
ポイントは、正方形の4つの辺に碁石が並ぶと考えることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 1辺に何個あるかを考える
n段n列のマス目では、上の辺には碁石がn個並びます。
下の辺もn個、左の辺もn個、右の辺もn個です。
たとえば4段4列なら、1辺に4個あります。
同じように、n段n列なら1辺にn個あると考えられます。
まずは「1辺にn個ある正方形」と見れば、規則性が見つけやすくなります。
ステップ2: 4辺分をいったん数える
1辺にn個あり、辺は4つあります。
そのため、いったん4辺分をすべて数えると、次の式になります。
n × 4 = 4n
ただし、このままでは答えになりません。
なぜなら、正方形の4つの角を2回ずつ数えてしまっているからです。
上の辺と左の辺が重なる角、上の辺と右の辺が重なる角のように、角の碁石は同じ1個なのに2回カウントされています。
ステップ3: 重なった4個を引く
4つの角は、それぞれ1回ずつ多く数えられています。
だから、4辺分の4nから、重なって数えた4個を引きます。
4n − 4
碁石の個数 = 4n − 4
これで、n段n列のときの碁石の個数を文字式で表せました。
ステップ4: n = 7を代入する
今回求めたいのは7段7列の場合です。
つまり、nに7を代入します。
4n − 4
= 4 × 7 − 4
= 28 − 4
= 24
答えは24個
図を7段7列で全部かいて数えなくても、文字式にしてから代入すれば求められます。
別の考え方: 最初から重なりを避ける
動画では、もう1つの考え方も紹介しています。
角で重ならないように、各辺をn個ではなくn − 1個ずつに分けて数える方法です。
たとえば、上の辺を右端だけ除いてn − 1個、右の辺を下端だけ除いてn − 1個、というように考えます。
すると、重なりを最初から避けて4つのまとまりに分けられます。
4(n − 1)
= 4n − 4
碁石の個数 = 4(n − 1)
この式も、展開すると4n − 4になるので、同じ意味を表しています。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、4nのまま答えにしてしまうミスです。
1辺にn個あるから4倍するところまでは正しいですが、角の4個が重なって数えられているので、必ず4を引く必要があります。
「4辺分を数えたら、角が重なっていないか」を確認しましょう。
2つ目は、4(n − 1)の意味がわからなくなることです。
これは、各辺をn個と数えるのではなく、角の重なりを避けてn − 1個ずつに分けている式です。
4n − 4と4(n − 1)は、どちらも同じ個数を表しています。
まとめ
- n段n列の外側に碁石を置く問題は、正方形の4辺として考えます。
- 1辺にn個あるので、まず4nと数えます。
- 4つの角を2回ずつ数えているため、4個を引いて4n − 4になります。
- 7段7列では、n = 7を代入して24個です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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