「123123のような数を、どう文字で表せばいいのかわからない」とつまずく人は多いです。
この記事では、3桁の整数を2つ並べてできる6桁の整数が、必ずどの素数で割り切れるのかを求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
123123のように、3桁の同じ整数を2つ並べて6桁の整数を作ります。
このとき、できた6桁の整数が必ず割り切れる素数をすべて求めなさい。
なお、x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) を利用してもよいものとします。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 3桁の整数をNとおく
まず、123123のような数をそのまま見ていると、どこに公式を使うのかが見えにくいです。
大事なのは、2つ並べた6桁の整数を、3桁の整数Nを使って表すことです。
たとえば、123123は次のように分けられます。
123123 = 123000 + 123
ここで、123の部分をNとおくと、同じ考え方で表せます。
123000は、123を1000倍したものです。
つまり、3桁の整数Nを2つ並べた数は、次の形になります。
N × 1000 + N
ステップ2: 共通因数Nでくくる
次に、N × 1000 + Nを因数分解します。
N × 1000 + N
= 1000N + N
= N(1000 + 1)
= N × 1001
つまり、どんな3桁の整数Nを選んでも、できた6桁の整数は必ず1001をかけた形になります。
ここまでで、問題は「1001を割り切る素数を求める」問題に変わりました。
ステップ3: 1001を因数分解する
1001をいきなり素因数分解しようとすると、何で割れるか見つけにくいです。
そこで、問題にある x^3 + 1 の因数分解を使います。
1001 = 1000 + 1
= 10^3 + 1
ここで、x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) のxに10を入れます。
10^3 + 1 = (10 + 1)(10^2 – 10 + 1)
= 11(100 – 10 + 1)
= 11 × 91
さらに91を素因数分解します。
91 = 7 × 13
したがって、1001は次のように分解できます。
1001 = 7 × 11 × 13
ステップ4: 答えをまとめる
3桁の整数を2つ並べた6桁の整数は、必ずN × 1001の形になります。
そして、1001 = 7 × 11 × 13なので、どんなNでもその数は7、11、13で割り切れます。
答えは 7、11、13
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: いきなり公式に当てはめようとする
x^3 + 1の公式がヒントにあると、すぐにそこから考えたくなります。
しかし、まずは123123のような数が何を意味しているのかを、Nを使って表すことが先です。
整数問題では、数のつくりを文字で表すことが最初の一歩です。
ミス2: 123123だけで判断してしまう
123123が7、11、13で割れることを確かめるだけでは、「必ず」とは言えません。
どんな3桁の整数NでもN × 1001になる、と説明できてはじめて答えになります。
まとめ
- 3桁の整数をNとおくと、2つ並べた数はN × 1000 + Nで表せます。
- N × 1000 + N = N × 1001なので、共通して1001を因数にもちます。
- 1001 = 10^3 + 1として、x^3 + 1の因数分解を使います。
- 必ず割り切れる素数は7、11、13です。
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