連立方程式の文章題で、割合が出てくると式の立て方が急にわからなくなることがあります。
特に「30％増やす」「40％減らす」を、xやyを使ってどう表すかがつまずきやすいポイントです。
この記事では、袋A・袋Bの砂の重さをx、yとおいて、割合を含む連立方程式を作り、加減法で解く流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
2つの袋A、Bに、合わせて105kgの砂が入っています。
初めに袋Aに入っていた砂の重さをx kg、袋Bに入っていた砂の重さをy kgとします。
袋Aの砂の量を30％増やし、袋Bの砂の量を40％減らしたところ、2つの袋の砂の重さの合計は変化しませんでした。
次の問いに答えなさい。
- 初めに袋A、Bに入っていた砂の重さの関係を表す方程式を作りなさい。
- 増減した後の袋A、Bの砂の重さの関係を表す方程式を作りなさい。
- 初めに袋A、Bに入っていた砂の重さをそれぞれ求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 初めの重さの式を作る
まずは、変化させる前の状態だけを見ます。
袋Aがx kg、袋Bがy kgで、合わせて105kgです。
つまり、2つを足せば105になります。
x + y = 105
文章題では、いきなり全部を考えずに「初めの状態」と「変化後の状態」に分けて読むことが大切です。
ステップ2: 30％増やす、40％減らすを式にする
次に、変化後の袋Aと袋Bの重さを考えます。
袋Aは30％増やすので、もとの100％に30％を足して130％になります。
100％がx kgなので、130％は次のように表せます。
x × 130/100
袋Bは40％減らすので、もとの100％から40％を引いて60％になります。
100％がy kgなので、60％は次のように表せます。
y × 60/100
変化後も2つの袋の合計は変わらないので、合計は105kgです。
x × 130/100 + y × 60/100 = 105
ステップ3: 分数を整理して連立方程式にする
変化後の式は、約分してから両辺を10倍すると見やすくなります。
x × 130/100 + y × 60/100 = 105
13/10x + 6/10y = 105
両辺を10倍します。
13x + 6y = 1050
これで、使う連立方程式は次の2つです。
x + y = 105
13x + 6y = 1050
分数がある式は、両辺に同じ数をかけて分数をなくすと計算しやすくなります。
ステップ4: 加減法でxとyを求める
yを消すために、x + y = 105 の両辺を6倍します。
6x + 6y = 630
13x + 6y = 1050 から 6x + 6y = 630 を引きます。
13x + 6y = 1050
6x + 6y = 630
7x = 420
x = 60
次に、x + y = 105 にx = 60を代入します。
60 + y = 105
y = 105 – 60
y = 45
答えは、袋Aが60kg、袋Bが45kgです。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、「30％増やす」を30/100xとしてしまうミスです。
30％増やすとは、もとの100％に30％を足すことなので、変化後は130％です。
同じように、「40％減らす」は40％になるのではなく、残りが60％になります。
増やす・減らすの問題では、変化後が何％になるかを先に考えると式を立てやすくなります。
2つ目は、変化後の合計を105kgにすることを忘れるミスです。
問題文に「合計は変化しなかった」とあるので、初めも変化後も合計は105kgです。
まとめ
- 初めの状態は、袋Aをx kg、袋Bをy kgとして x + y = 105 と表します。
- 30％増やすは130％、40％減らすは60％として考えます。
- 変化後の式は x × 130/100 + y × 60/100 = 105 です。
- 分数を整理して加減法で解くと、袋Aは60kg、袋Bは45kgになります。
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