平行線と多角形が組み合わさる角度の問題は、「どの角から求めればいいのか」で迷いやすいです。
この記事では、正五角形の内角と平行線の錯角を使って、角xを順番に求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
下の図で、五角形ABCDEは正五角形であり、2本の直線lとmは平行です。
図には、直線lと正五角形の辺でできる角として53°が示されています。
また、求める角xは、直線m上で正五角形の角や平行線から移した角と一直線上に並ぶ位置にあります。
このとき、角xの大きさを求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 正五角形の1つの内角を求める
まず、正五角形の1つの内角を確認します。
五角形は、1つの頂点から補助線を引くと、三角形3つに分けられます。
そのため、五角形の内角の和は次のように求められます。
多角形の内角の和 = 180° × (n − 2)
五角形では、n = 5です。
180° × (5 − 2) = 180° × 3
180° × 3 = 540°
正五角形は5つの角がすべて等しいので、540°を5で割ります。
540° ÷ 5 = 108°
正五角形の1つの内角は108°です。
ステップ2: 53°を錯角で移す
次に、図にある53°を使います。
2本の直線lとmは平行なので、平行線に対して補助線を引くと、錯角が等しくなります。
動画では、正五角形の中を通るように平行な補助線を引き、53°と等しい角を見つけました。
よって、補助線のところにできる角も53°です。
平行線の問題では、同じ角度を錯角で移せないかを見るのが大切です。
ステップ3: 108°から53°を引いて55°を求める
正五角形の内角は108°でした。
その108°の中に、さきほど錯角で移した53°が入っているので、残りの角を引き算で求めます。
108° − 53° = 55°
ここで、1つの角が55°だとわかります。
さらに、直線lとmは平行なので、この55°も錯角として別の場所へ移せます。
したがって、求めたいxの近くにある角も55°になります。
ステップ4: 一直線の180°から引く
最後に、xがある直線上の角を見ます。
一直線上の角の和は180°です。
その一直線上には、正五角形の内角108°と、錯角で移した55°と、角xがあります。
だから、180°から108°と55°を引けばxが求められます。
180° − 108° − 55° = x
180° − 108° = 72°
72° − 55° = 17°
x = 17°
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: 180°から108°だけを引いてしまう
動画の中でも出てきた間違いが、180° − 108° = 72°として、答えを72°にしてしまうことです。
しかし、一直線上には108°だけでなく、55°もあります。
xを求めるときは、同じ直線上にある角を全部確認してから引き算しましょう。
ミス2: 53°と55°を混同する
53°は、最初に図で与えられている角です。
55°は、正五角形の内角108°から53°を引いて出てきた角です。
どちらも錯角で使うので、図に書き込みながら「これは53°」「これは55°」と分けて考えると間違いにくくなります。
まとめ
- 正五角形の内角の和は540°で、1つの内角は108°です。
- 平行線があるときは、錯角を使って同じ角度を移せます。
- 108° − 53° = 55°を求めてから、もう一度錯角を使います。
- 最後は一直線の180°から108°と55°を引いて、x = 17°です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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