連立方程式の文章題で、割合や百分率が出てくると「何を足せばよいのか」で迷いやすいです。
この記事では、工場の機械A・Bが作る個数と不良品の割合から、製造個数や台数を求める流れを解説します。
ポイントは、割合そのものを足すのではなく、不良品の個数で式を作ることです。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
ある工場には、機械Aと機械Bがそれぞれ何台かあります。
どの機械Aも1日に製造する品物の個数は同じで、その中に含まれる不良品の割合は2%です。
どの機械Bも1日に製造する品物の個数は同じで、その中に含まれる不良品の割合は0.5%です。
機械Aを1台使って品物を製造し、そのすべてが入った箱から100個を無作為に取り出して印をつけ、箱に戻してよく混ぜました。
その後、再び150個を無作為に取り出したところ、印のついた品物が5個ありました。
1台の機械Aが1日に製造した品物の個数は、およそ何個と推測できますか。
次に、機械Aと機械Bを1台ずつ同時に使って製造したところ、2台で作った品物全体に含まれる不良品の割合は1.4%でした。
1台の機械Bが1日に製造した個数を求めなさい。
さらに、この工場にある機械Aと機械Bをすべて同時に使うと、1日に製造した品物は合わせて18000個で、不良品の割合は1%でした。
機械A、機械Bはそれぞれ何台ありますか。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 印の割合から機械Aの製造個数を求める
1台の機械Aが1日に作る個数を x 個とします。
箱全体の中で印がついている割合と、取り出した150個の中で印がついている割合が同じくらいになると考えます。
100 / x = 5 / 150
5x = 100 × 150
x = 100 × 150 ÷ 5
x = 3000
よって、1台の機械Aが1日に製造する個数は、およそ3000個です。
ステップ2: 不良品の個数で機械Bの製造個数を求める
1台の機械Bが1日に作る個数を y 個とします。
機械Aは3000個作り、そのうち2%が不良品です。
機械Bは y 個作り、そのうち0.5%が不良品です。
全体では 3000 + y 個を作り、そのうち1.4%が不良品です。
3000 × 2/100 + y × 0.5/100 = (3000 + y) × 1.4/100
両辺を100倍します。
3000 × 2 + 0.5y = (3000 + y) × 1.4
6000 + 0.5y = 4200 + 1.4y
0.5y – 1.4y = 4200 – 6000
-0.9y = -1800
y = 2000
よって、1台の機械Bが1日に製造する個数は、2000個です。
ステップ3: 台数を文字でおいて連立方程式を作る
工場にある機械Aの台数を a 台、機械Bの台数を b 台とします。
1日の製造個数は、機械Aが1台あたり3000個、機械Bが1台あたり2000個です。
合計が18000個なので、次の式ができます。
3000a + 2000b = 18000
1000で割ります。
3a + 2b = 18
次に、不良品の個数で式を作ります。
機械Aの不良品は 3000a × 2/100、機械Bの不良品は 2000b × 0.5/100 です。
全体では18000個の1%が不良品です。
3000a × 2/100 + 2000b × 0.5/100 = 18000 × 1/100
整理すると、次の式になります。
6a + b = 18
これで、連立方程式は次の2つです。
3a + 2b = 18
6a + b = 18
2つ目の式を2倍します。
12a + 2b = 36
3a + 2b = 18 と 12a + 2b = 36 を引き算します。
-9a = -18
a = 2
6a + b = 18 に a = 2 を代入します。
6 × 2 + b = 18
b = 6
よって、機械Aは2台、機械Bは6台です。
答え：機械Aは2台、機械Bは6台
よくあるミス・つまずきポイント
一番多いミスは、2%や0.5%などの割合だけを足したり調整したりして式を作ろうとすることです。
割合は、何個に対する割合なのかが大切なので、必ず「不良品の個数」に直して考えます。
割合の文章題では、割合を足すのではなく、実際の個数を足すと式が立てやすくなります。
また、台数を求める場面で、a や b を「製造個数」と勘違いしないように注意しましょう。
今回の a、b は台数なので、3000a や 2000b が製造個数を表します。
まとめ
- 印をつけて戻す問題では、全体の印の割合と取り出した中の印の割合を比で考えます。
- 不良品の割合が出る問題では、不良品の個数で方程式を作ります。
- 台数を求めるときは、機械Aの台数を a、機械Bの台数を b とおいて連立方程式にします。
- 今回の答えは、機械Aが2台、機械Bが6台です。
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