円柱の容器に球を入れる問題は、図をかかないまま計算しようとすると、どの体積を引けばよいのか分かりにくくなります。
特に今回のポイントは、「水の深さが6cm」という条件から、球のどの部分が水に入っているかを読み取ることです。
この記事では、円柱の体積と半球の体積を使って、初めの水の深さを求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
底面の半径が10cm、高さが20cmの円柱の容器があります。
この容器に水が入っていて、容器の底に半径6cmの球を置いたところ、水の深さが6cmになりました。
初めの水の深さを求めなさい。
球を入れた後の水の深さが6cmなので、球は下半分だけが水の中に入っていることに注目します。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 図で状況を整理する
まず、円柱の容器を横から見た図として考えます。
円柱の底面の半径は10cmなので、底面積はπ × 10²です。
球の半径は6cmで、球は容器の底に置かれています。
球を入れた後の水の深さも6cmなので、水面は球の中心の高さまで来ていることになります。
つまり、水の中に入っている球の部分は、球全体ではなく半分だけです。
ステップ2: 水が入っている部分全体の体積を求める
球を入れた後、水面の高さは6cmです。
まずは、球も水もふくめた「高さ6cmまでの円柱の体積」を求めます。
円柱の体積 = 底面積 × 高さ
π × 10² × 6 = 600π
この600πは、水だけの体積ではありません。
高さ6cmまでの空間全体なので、この中には水に沈んでいる球の下半分もふくまれています。
ステップ3: 水に入っている半球の体積を引く
次に、水の中に入っている球の体積を求めます。
球の体積の公式は、4/3 × π × 半径³です。
今回は球の半分だけが水の中に入っているので、最後に1/2をかけます。
4/3 × π × 6³ × 1/2 = 144π
したがって、水そのものの体積は、円柱の高さ6cm分の体積から半球の体積を引けば求められます。
600π − 144π = 456π
水の体積は456πcm³です。
ステップ4: 水の体積から初めの深さを求める
球を入れる前も後も、水の量そのものは変わりません。
つまり、初めから入っていた水の体積は456πcm³です。
初めの水の深さをxcmとします。
π × 10² × x = 456π
100πx = 456π
x = 456π ÷ 100π
x = 4.56
答えは4.56cmです。
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: 球全体の体積を引いてしまう
今回、水の深さは6cmで、球の半径も6cmです。
そのため、水面は球の中心までしか来ていません。
水に入っているのは球全体ではなく、下半分だけです。
球全体の体積を引いてしまうと、引きすぎになり、答えが小さくなってしまいます。
ミス2: 600πを水の体積だと思ってしまう
π × 10² × 6 = 600π は、高さ6cmまでの円柱全体の体積です。
この中には、水だけでなく、球の下半分が占めている部分も入っています。
だから、600πから半球の体積144πを引いて、はじめて水の体積になります。
まとめ
- 水の深さ6cmと球の半径6cmから、球の下半分だけが水中にあると分かります。
- 高さ6cmまでの円柱の体積は600πcm³です。
- 水中にある半球の体積は144πcm³なので、水の体積は456πcm³です。
- 水の体積を円柱の底面積100πで割ると、初めの水の深さは4.56cmになります。
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