反比例のグラフに、対称移動や合同が組み合わさると、どこから手をつけるか迷いやすいです。
この記事では、点の座標を整理しながら、AQ+QBが最短になるときの考え方とQBの長さまでを解説します。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
原点Oをもつ座標平面で、yが0より大きい範囲に、y軸に関して対称な2つの反比例のグラフがあります。
左側のグラフ上の点をA、右側のグラフ上の点をBとし、どちらもy座標は15、ABの長さは16です。
まず、左側の反比例の式を求めます。
次に、点Bをx軸に関して対称移動した点をB’、x軸上の点をPとし、三角形APB’の面積が45になるときのPのx座標を求めます。
さらに、点Bからx軸に下ろした垂線の足をHとし、点Dを左側の反比例のグラフ上に取り、三角形BOHと三角形ODIが合同になるようにします。
点Qが線分OD上を動くとき、AQ+QBが最短になるときのQBの長さを求めます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: AとBの座標から反比例の式を求める
AとBはy軸に関して対称で、ABの長さが16なので、x座標はそれぞれ-8と8になります。
つまり、A(-8,15)、B(8,15)です。
反比例の式をy=a/xとおきます。
15=a/(-8)
a=-120
左側のグラフの式は y=-120/x
反比例では、グラフ上の1点の座標を代入すれば、比例定数aが求められます。
ステップ2: 面積45からPのx座標を求める
点B(8,15)をx軸に関して対称移動すると、B'(8,-15)になります。
A(-8,15)とB'(8,-15)を結ぶ直線は、原点Oを通ります。
Pをx軸上の点とし、OPの長さをtと考えます。
三角形APB’は、x軸で高さ15の三角形2つに分けられます。
面積=1/2×t×15×2
45=15t
t=3
OPの長さが3なので、Pは原点の右側にも左側にも取れます。
Pのx座標は 3 または -3
ステップ3: 最短距離は「反射して一直線」で考える
AQ+QBを最短にしたいときは、Qが動く線であるODを鏡のように考えます。
点Bを直線ODに関して対称移動した点をB”とすると、AQ+QBはAQ+QB”と同じ長さになります。
そのため、A、Q、B”が一直線になるときが最短です。
最短距離の問題では、動く点がある直線に対して点を対称移動し、一直線にするのが大切です。
ここで、三角形BOHと三角形ODIが合同であることから、対応する角が等しくなります。
その結果、OBとODは垂直になります。
ODは点Oを通り、OBに垂直なので、BをODに関して対称移動した点B”は、OをはさんでBと反対側にあります。
したがって、B”の座標は(-8,-15)です。
ステップ4: Qの座標を出してQBの長さを求める
A(-8,15)とB”(-8,-15)は、x座標がどちらも-8です。
したがって、最短になるときのQもx座標が-8になります。
OBの傾きは15/8なので、OBに垂直なODの傾きは-8/15です。
ODの式は y=(-8/15)x です。
x=-8を代入します。
y=(-8/15)×(-8)
y=64/15
よって、Qの座標は(-8,64/15)です。
Qは対称の軸OD上にあるので、QB=QB”です。
QB”=64/15-(-15)
QB”=64/15+225/15
QB”=289/15
AQ+QBが最短になるとき、QBの長さは 289/15
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、最短距離を考えるときに、x軸やy軸で対称移動してしまうことです。
今回、点Qが動くのはOD上なので、点BはODに関して対称移動します。
2つ目は、Pのx座標を求めるときに、3だけを答えてしまうことです。
OPの長さが3なので、x座標は3と-3の両方があります。
まとめ
- y軸に関して対称でAB=16なら、AとBのx座標は-8と8です。
- 反比例の式は、y=a/xに点の座標を代入して求めます。
- 最短距離は、点を動く直線に関して対称移動し、一直線にして考えます。
- 今回の答えは、Pのx座標が3または-3、最短時のQBの長さが289/15です。
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