多角形の角度の問題で、印がたくさんついていると「どの角から求めればいいのか」と迷いやすいです。
この記事では、角度を1つずつ求めずに、角の和を移動して考える解き方がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
図のように、真ん中に三角形が3つ見える多角形の図があります。
外側や交点のまわりに印がついた角がいくつかあり、それらの角の和を求めます。
角度の数値は1つも与えられていません。
この問題は、印のついた角を直接1つずつ求めるのではなく、角の和を別の場所へ移して考える問題です。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 角を1つずつ求めようとしない
まず大事なのは、問題で聞かれているのが「それぞれの角度」ではなく「印のついた角の和」だという点です。
1つ1つの角度がわからなくても、合計だけなら求められることがあります。
角の和を求める問題では、角そのものを動かすのではなく、同じ大きさの角を使って和を移動できないかを考えます。
ステップ2: 補助線を引いて対頂角を使う
真ん中にある三角形に注目して、印のついた2つの角の近くに補助線を引きます。
すると、交わった直線でできる角の中に、対頂角の関係が見えてきます。
対頂角は等しいので、印のついた角と同じ大きさの角を、三角形の別の場所に見つけることができます。
たとえば、印のついた2つの角をA、Bと見たとき、補助線を引くことで、同じ和A + Bを別の場所に置きかえられます。
ここで大事なのは、2つの角がそれぞれ同じ場所に移るというより、2つの角の和が同じになるという見方です。
ステップ3: 同じことを3か所でくり返す
動画では、真ん中に三角形が3つある形でした。
そこで、同じように補助線を3か所に引き、対頂角が等しいことを使って、印のついた角の和を順番に移動していきます。
もとの印の角を消して、移動先の角でカウントしていくイメージです。
このように整理すると、求めたい角の和が、ある五角形の内角の和と同じになることがわかります。
印のついた角の和は、補助線と対頂角によって、五角形の内角の和に置きかえられます。
ステップ4: 五角形の内角の和を求める
あとは、五角形の内角の和を計算します。
多角形の内角の和 = 180° × (n − 2)
五角形なので、n = 5です。
180° × (5 − 2)
180° × 3
540°
したがって、印のついた角の和は、540°です。
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: 角度を1つずつ求めようとする
この問題では、角度の数値が与えられていないので、1つずつの角を直接求めようとしても行き詰まりやすいです。
聞かれているのは角の和なので、合計を別の場所へ移す発想が大切です。
ミス2: 「角が同じ」と「角の和が同じ」を混同する
補助線を引いたあと、もとの角と移動先の角がすべて1対1で同じになるわけではありません。
動画で使っている考え方は、対頂角を利用して、2つの角の合計が同じになるというものです。
まとめ
- 印のついた角を1つずつ求めなくても、角の和なら求められることがあります。
- 補助線を引くと、対頂角が等しいことを使って角の和を移動できます。
- 移動した角の和は、五角形の内角の和として考えられます。
- 五角形の内角の和は、180° × (5 − 2) = 540°です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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