規則性のタイル問題では、「何個ずつ増えるのか」は見えても、n番目を文字式で表すところでつまずきやすいです。
この記事では、正方形のタイルが増えていく問題で、4番目・n番目に加える枚数と、n番目の総数の求め方がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
正方形のタイルに順に1、2、3、…と番号をつけ、一定の規則にしたがって並べていきます。
1番目は1個、2番目では3個を加え、3番目では5個を加えるように増えていきます。
このとき、次の空欄に入る数または式を求めます。
- 4番目に加えるタイルの数は何個か。
- n番目に加えるタイルの数は何個か。
- n番目のタイルの総数は何枚か。
- 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) は何に等しいか。
ポイントは、2番目・3番目で何が増えているかを見て、同じ考え方をn番目に置きかえることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 4番目に加える数を考える
1番目に加えるタイルは1個です。
2番目に加えるタイルは3個です。
3番目に加えるタイルは5個です。
加える数は、1、3、5、…と2個ずつ増えています。
だから、4番目に加えるタイルの数は次のようになります。
5 + 2 = 7
4番目に加えるタイルの数は7個です。
ステップ2: n番目に加える数を文字式で表す
3番目に加えるタイルを考えると、縦に3個、横に3個ある形として見ることができます。
ただし、角の1個は縦にも横にも数えてしまうので、1個分が重なります。
そのため、3番目は次のように考えます。
3 + 3 − 1 = 5
同じように、2番目なら次のようになります。
2 + 2 − 1 = 3
では、n番目ではどうなるでしょうか。
縦にn個、横にn個が加わると考え、重なっている角の1個を引きます。
n + n − 1 = 2n − 1
n番目に加える枚数は、「縦n個 + 横n個 − 重なり1個」で考えます。
n番目に加えるタイルの数は2n − 1個です。
ステップ3: n番目の総数を考える
次に、n番目まで並べたときのタイルの総数を考えます。
2番目の図は、縦に2個、横に2個の正方形として見ることができます。
つまり、総数は次のようになります。
2 × 2 = 4
3番目の図は、縦に3個、横に3個の正方形です。
3 × 3 = 9
同じように、n番目の図は、縦にn個、横にn個の正方形になります。
n × n = n²
n番目のタイルの総数はn²枚です。
ステップ4: 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) の意味を確認する
1番目では1個、2番目では3個、3番目では5個を加えています。
このように、毎回加えたタイルの数をすべて足すと、n番目までの総数になります。
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
左辺は「毎回加えた枚数の合計」、右辺は「n番目の正方形全体の枚数」を表しています。
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²です。
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: n + n をそのまま答えにしてしまう
n番目では、縦にn個、横にn個あるように見えます。
しかし、角の1個は縦と横の両方に入ってしまうため、重なりを引く必要があります。
n + n = 2n ではなく、重なった1個を引いて2n − 1にします。
ミス2: 「加える数」と「総数」を混ぜてしまう
2n − 1は、n番目に新しく加えるタイルの数です。
n²は、n番目まで並べたあとのタイルの総数です。
どちらを聞かれているのかを、問題文でしっかり確認しましょう。
まとめ
- 加えるタイルの数は、1、3、5、7、…と2個ずつ増えます。
- n番目に加えるタイルの数は、縦n個 + 横n個 − 重なり1個で2n − 1個です。
- n番目の総数は、縦n個、横n個の正方形なのでn²枚です。
- 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² は、加えた枚数の合計が総数になることを表します。
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