三角形の辺に並んだ数の和が等しい、という問題は、図形に見えても考え方は連立方程式です。
「あ」「い」のような文字が出てくると迷いやすいですが、x、yに置きかえると式を立てやすくなります。
この記事では、各辺の和を式にして、連立方程式で「あ」「い」を求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
右の図の丸の中には、三角形の各辺の3つの数の和がすべて等しくなるように、それぞれの数が入っています。
各辺にある3つの数の和が、次のように表せるとします。
- 1つ目の辺：あ、1、い
- 2つ目の辺：い、−1、2
- 3つ目の辺：あ、−5、2
このとき、空欄の「あ」「い」に当てはまる数を求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 「あ」「い」をx、yに置きかえる
まず、「あ」や「い」のままだと式が見にくいので、文字に置きかえます。
あ = x
い = y
求めたいものをx、yに置くと、連立方程式を作りやすくなります。
この問題では、最後にxが「あ」、yが「い」に対応していることを忘れないようにします。
ステップ2: 各辺の和を式で表す
三角形の各辺の3つの数の和がすべて等しくなるので、まずはそれぞれの辺の合計を式にします。
1つ目の辺は、あ、1、いなので、x + 1 + y です。
2つ目の辺は、い、−1、2なので、y + (−1) + 2 です。
3つ目の辺は、あ、−5、2なので、x + (−5) + 2 です。
整理すると、次のようになります。
1つ目の辺：x + 1 + y
2つ目の辺：y + 1
3つ目の辺：x − 3
辺ごとの和を正しく式にすることが、この問題のいちばん大事なポイントです。
ステップ3: 等しい和から連立方程式を作る
問題文には、3つの辺の和がすべて等しいとあります。
そこで、1つ目の辺と3つ目の辺、2つ目の辺と3つ目の辺を等しいとして式を作ります。
x + 1 + y = x − 3
y + 1 = x − 3
この2つを連立方程式として解きます。
「すべて等しい」と書いてあるときは、同じ式にそろえて等号でつなぐと考えます。
ステップ4: 加減法と代入でx、yを求める
2つの式は、右辺がどちらもx − 3になっています。
そのため、上の式から下の式を引くと、右辺が消えます。
(x + 1 + y) − (y + 1) = (x − 3) − (x − 3)
x = 0
これで、あに対応するxの値がわかりました。
次に、x = 0を y + 1 = x − 3 に代入します。
y + 1 = 0 − 3
y + 1 = −3
y = −3 − 1
y = −4
したがって、あ = 0、い = −4 です。
よくあるミス・つまずきポイント
「−1」や「−5」の計算をまちがえる
2つ目の辺は、y + (−1) + 2 なので、整理するとy + 1です。
3つ目の辺は、x + (−5) + 2 なので、整理するとx − 3です。
負の数を足すときは、符号をつけたままていねいに計算しましょう。
「すべて等しい」を1本の式だけで終わらせてしまう
xとyの2つの文字を求めるには、基本的に式も2本必要です。
今回は、x + 1 + y = x − 3 と y + 1 = x − 3 の2本を作ることで、連立方程式として解けます。
まとめ
- 「あ」「い」は、x、yに置きかえると考えやすくなります。
- 各辺の3つの数の和を、それぞれ式で表します。
- 3つの辺の和が等しいことから、連立方程式を作ります。
- 答えは、あ = 0、い = −4 です。
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