図形の証明では、「どの三角形が合同なのか」が見つからずに手が止まることがあります。
この記事では、二等辺三角形の図で、わかっている辺や角を整理しながら、△ABEと合同な三角形を見つける方法を解説します。
この記事でわかることは、共通の角を足して新しい角の等しさをつくり、合同条件につなげる考え方です。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
三角形ABCで、図のようにAB＝BC、∠A＝∠Cとします。
AC上に点D、点Eをとり、∠ABD＝∠CBEとなるようにしました。
このとき、△ABEと合同な三角形を、合同の記号を使って表しなさい。
また、そのときに使う合同条件も答えなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 仮定を整理する
まず、問題文からそのまま使える情報を書き出します。
AB＝BC
∠A＝∠C
∠ABD＝∠CBE
証明では、図を見ていきなり答えを探すのではなく、問題文に書かれている等しい辺や角を先に整理することが大切です。
ここで、△ABEに注目すると、辺ABと角Aが含まれています。
ABと対応しそうな辺はBC、∠Aと対応しそうな角は∠Cなので、相手の三角形は△CBDではないかと考えます。
ステップ2: 共通の角を見つける
次に、△ABEと△CBDで使えそうな角を考えます。
問題文では、∠ABD＝∠CBE がわかっています。
さらに、∠DBEはどちらの角にもふくまれる共通の角です。
∠ABEは、∠ABDに∠DBEを足した角です。
∠ABE＝∠ABD＋∠DBE
∠CBDは、∠CBEに∠DBEを足した角です。
∠CBD＝∠CBE＋∠DBE
もともと ∠ABD＝∠CBE で、そこに同じ ∠DBE を足しているので、2つの角は等しくなります。
∠ABE＝∠CBD
ステップ3: 合同条件にあてはめる
ここまでで、△ABEと△CBDについて、3つの等しい関係がそろいました。
AB＝CB
∠A＝∠C
∠ABE＝∠CBD
これは、1つの辺と、その両端にある2つの角がそれぞれ等しい形です。
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
したがって、この合同条件によって、△ABEと△CBDは合同だとわかります。
△ABE≡△CBD
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: ∠ABD＝∠CBEだけで決めてしまう
∠ABD＝∠CBE は大切な情報ですが、それだけでは△ABEと△CBDの合同には直接使えません。
△ABEで使いたい角は∠ABE、△CBDで使いたい角は∠CBDです。
共通の∠DBEを足して、∠ABE＝∠CBDをつくるところがこの問題のポイントです。
ミス2: 合同条件を「角角辺」とあいまいに書く
この問題で使う合同条件は、正しくは「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」です。
辺ABと辺BCをはさむように、∠Aと∠ABE、∠Cと∠CBDが対応しています。
合同条件は言い方まで正確に書くようにしましょう。
まとめ
- 問題文から、AB＝BC、∠A＝∠C、∠ABD＝∠CBEを整理します。
- 共通の角∠DBEを足すと、∠ABE＝∠CBDがわかります。
- 合同条件は「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」です。
- 答えは △ABE≡△CBD です。
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