平方根の問題で「小数部分」と出てくると、何をすればよいか迷いやすいです。
この記事では、√10の小数部分をbとしたときに、b²の値を求める流れを解説します。
この記事でわかることは、「整数部分を引くと小数部分になる」という考え方と、(√10−3)²の展開のしかたです。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を考えます。
√10の小数部分をbとするとき、b²の値を求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 小数部分の意味を確認する
まず、「小数部分」とは何かを確認しましょう。
たとえば、3.14という数の整数部分は3です。
小数部分は、3.14から整数部分の3を引いた部分なので、0.14です。
3.14 − 3 = 0.14
小数部分は、もとの数から整数部分を引くと求められます。
今回も同じように、√10の小数部分を求めるには、√10の整数部分を見つけて引けばよいです。
ステップ2: √10の整数部分を求める
√10がどの整数とどの整数の間にあるかを考えます。
3² = 9
4² = 16
9 ＜ 10 ＜ 16
つまり、10は3²と4²の間にあります。
平方根で考えると、次のようになります。
3 ＜ √10 ＜ 4
√10は3より大きく、4より小さい数です。
つまり、√10は3点いくつかの数なので、整数部分は3です。
ステップ3: 小数部分bを式で表す
√10の整数部分が3だとわかったので、小数部分は√10から3を引いたものです。
b = √10 − 3
問題ではb²の値を求めるので、この式を2乗します。
b² = (√10 − 3)²
ここまでできれば、あとは展開して計算するだけです。
ステップ4: (√10−3)²を展開する
ここでは、中3で習う展開公式を使います。
(A − B)² = A² − 2AB + B²
今回の式では、Aが√10、Bが3です。
b² = (√10 − 3)²
b² = (√10)² − 2×√10×3 + 3²
b² = 10 − 6√10 + 9
b² = 19 − 6√10
したがって、答えは次のようになります。
b² = 19 − 6√10
よくあるミス・つまずきポイント
小数部分をそのまま数字で考えようとしてしまう
√10は小数で表すと3点いくつかの数ですが、正確な小数に直す必要はありません。
小数部分は「√10 − 整数部分」と式で表せばよいです。
今回なら、整数部分が3なので、b = √10 − 3と表します。
展開公式の符号を間違える
(A − B)²を展開すると、真ん中の項はマイナスになります。
(√10 − 3)² = 10 − 6√10 + 9
最後の3²は9になるので、ここをマイナスにしないように注意しましょう。
まとめ
- 小数部分は、もとの数から整数部分を引くと求められます。
- 3² ＜ 10 ＜ 4²より、3 ＜ √10 ＜ 4なので、√10の整数部分は3です。
- √10の小数部分は、b = √10 − 3と表せます。
- (√10 − 3)²を展開すると、答えは19 − 6√10です。
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