平方根を含む不等式で「自然数が何個入るか」を考える問題は、ルートのままだと見えにくく感じます。
この記事では、√n ≤ m ≤ √(n+100) の範囲に入る自然数mの数え方と、「ちょうど2個」になる最小のnの求め方がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
自然数m、nについて、次の不等式を考えます。
√n ≤ m ≤ √(n+100)
（1）n = 225 のとき、この不等式を満たす自然数mは何個ありますか。
（2）この不等式を満たす自然数mがちょうど2個であるとき、最小の自然数nの値を求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: n = 225を代入して個数を確認する
まず（1）は、nに225を代入します。
√225 ≤ m ≤ √(225+100)
√225 ≤ m ≤ √325
すべて0以上なので、2乗して考えます。
225 ≤ m² ≤ 325
15² = 225、18² = 324、19² = 361です。
つまり、mに入るのは15、16、17、18です。
平方根の範囲に入る自然数は、2乗した数で比べると数えやすくなります。
したがって、（1）の答えは4個です。
ステップ2: ちょうど2個をk、k+1とおく
（2）では、不等式を満たす自然数mがちょうど2個です。
連続する自然数が入るので、その2つをk、k+1とおきます。
このとき、kとk+1は範囲に入ります。
√n ≤ k < k+1 ≤ √(n+100)
しかし、ちょうど2個にするには、それ以外が入ってはいけません。
kの1つ下のk−1は、√nより小さい必要があります。
また、k+1の1つ上のk+2は、√(n+100)より大きい必要があります。
k−1 < √n ≤ k < k+1 ≤ √(n+100) < k+2
「ちょうど2個」は、入る2個だけでなく、入らない両端も考えるのがポイントです。
ステップ3: 2乗してkの最小値を求める
平方根をなくすために、全体を2乗して考えます。
(k−1)² < n ≤ k²
(k+1)² ≤ n+100 < (k+2)²
ここで、(k−1)² < n なので、(k−1)²+100 は n+100 より小さくなります。
さらに、n+100 < (k+2)² なので、次の不等式が成り立ちます。
(k−1)²+100 < (k+2)²
これを計算します。
k²−2k+1+100 < k²+4k+4
k²−2k+101 < k²+4k+4
−2k+101 < 4k+4
97 < 6k
97/6 < k
97/6 = 16.16…なので、自然数kの最小は17です。
ステップ4: k = 17を代入して最小のnを決める
k = 17なので、範囲に入る2つの自然数mは17と18です。
左側の条件は、k−1が入らず、kが入ることです。
(17−1)² < n ≤ 17²
16² < n ≤ 17²
256 < n ≤ 289
この範囲で最小の自然数nは257です。
実際にn = 257なら、√257は16より大きく17以下で、√357は18以上19より小さいので、入るmは17と18だけです。
答え：最小の自然数nは257
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、√(n+100)を√n+100のように見てしまうことです。
今回の右端は、n+100全体にルートがかかっているので、n = 225のときは√325になります。
2つ目は、kとk+1だけを置いて、k−1とk+2を考え忘れることです。
「2個入る」だけではなく、「3個以上入らない」条件を入れないと、正しく最小のnを決められません。
また、不等式を変形するときに、負の数で割る場合は不等号の向きが逆になる点にも注意しましょう。
まとめ
- 平方根を含む不等式は、2乗して整数の範囲に直すと考えやすいです。
- n = 225のときは、m = 15、16、17、18の4個です。
- ちょうど2個入るときは、その2個をk、k+1とおきます。
- k−1とk+2が範囲に入らない条件まで考えると、最小のnは257です。
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