二等辺三角形と正方形が組み合わさった図形問題は、角度・合同・面積が一度に出てくるので手が止まりやすい単元です。
この記事では、角度を文字でおき、合同な三角形を見つけて、三角形AEFの面積を求める流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
AB=ACである二等辺三角形ABCがあり、BC=4、∠BAC=45°とします。
辺ACを1辺とする正方形ACDEを作り、直線BEと正方形の対角線ADの交点をFとします。
AからBCに垂線AHを下ろし、∠ABE=∠AEB=X、∠BAH=∠HAC=Yとして考えます。
動画では、X+Y、∠BEC、EFの長さ、そして三角形AEFの面積を順に求めました。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: X+Yを求める
まず、AB=ACで、正方形よりAC=AEなので、AB=AEです。
そのため、三角形ABEは二等辺三角形になり、∠ABE=∠AEB=Xとおけます。
また、AHは二等辺三角形ABCの頂点Aから底辺BCに下ろした垂線なので、三角形ABHと三角形ACHは合同です。
よって、∠BAH=∠HAC=Yとなります。
三角形ABEの内角の和を使います。
180° = X + X + 2Y + 90°
180° = 2X + 2Y + 90°
90° = 2X + 2Y
X+Y=45°
二等辺三角形と正方形から、等しい辺と90°を先に図へ書きこむのがポイントです。
ステップ2: ∠BECを求める
∠BAC=45°で、∠BAC=2Yなので、2Y=45°です。
Y=22.5°
X+Y=45°より、X=22.5°です。
正方形の対角線CEは、正方形の角を半分にするので、∠AEC=45°になります。
求めたい∠BECは、∠AECから∠AEBを引けば出ます。
∠BEC = 45° – 22.5°
∠BEC=22.5°
ステップ3: 合同からEFの長さを求める
次に、三角形ABCと三角形EDFに注目します。
AB=ACで、正方形よりAC=DEなので、AB=DEです。
また、∠BAC=45°で、正方形の対角線ADより∠EDF=45°です。
さらに、三角形ABCの底角は、(180°-45°)÷2=67.5°です。
∠DEFは、正方形の対角線による45°と∠BECの22.5°を足して、67.5°になります。
つまり、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形EDFは合同です。
対応する辺は等しいので、BCに対応するEFも同じ長さになります。
EF=4
ステップ4: 三角形AEFの面積を求める
三角形AEFの底辺をEFとすると、底辺は4です。
あとは、AからEFに下ろした高さARを求めればよいです。
ここで、三角形ABHと三角形ARBを比べます。
どちらも直角三角形で、斜辺ABが共通し、X=Y=22.5°なので、合同と考えられます。
そのため、BHに対応するARの長さは同じです。
二等辺三角形ABCでAHは底辺BCを半分にするので、BH=2です。
よって、AR=2です。
三角形の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2
三角形AEFの面積 = 4 × 2 ÷ 2
三角形AEFの面積は4
よくあるミス・つまずきポイント
正方形の対角線が角を45°ずつに分けることを使い忘れると、∠BECや∠EDFが求めにくくなります。
また、面積を求めるときに、EF=4だけで止まってしまうことがあります。
面積では、底辺だけでなく、必ずその底辺に垂直な高さを探すことが大切です。
今回は、高さARを直接測るのではなく、合同な直角三角形を見つけてAR=BH=2と求めました。
まとめ
- AB=ACと正方形ACDEから、AB=AEを見つけると三角形ABEが使えます。
- 正方形の対角線は角を45°に分けるので、角度計算の重要な手がかりになります。
- 三角形ABCと三角形EDFの合同から、EF=4がわかります。
- 三角形AEFの面積は、底辺EF=4、高さAR=2より4です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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