「2点A、Bを通る円」と言われると、どこにコンパスの針を置けばよいかで迷いやすいです。
この問題では、円そのものをいきなり描くのではなく、まず円の中心を見つけることがポイントです。
この記事では、半径が線分ABと等しい円を作図する手順と、その理由がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
下の図で、2点A、Bを通り、半径が線分ABと等しい円を描きなさい。
つまり、円の周上にAとBがあり、円の半径の長さがABと同じになるように作図します。
この条件を満たす円は、線分ABの片側に1つ、反対側に1つの合計2つあります。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 円の中心Oを考える
円を描くには、まず中心がどこにあるかを考えます。
中心をOとすると、円がAとBを通るので、OAとOBはどちらも半径です。
また、問題より半径はABと等しいです。
OA = AB
OB = AB
したがって、OA = OB = AB となります。
OA = OB = AB
つまり、点O、A、Bを結ぶと、3つの辺がすべて同じ長さの正三角形になります。
ステップ2: 正三角形の頂点は垂直二等分線上にある
正三角形OABでは、OからABに向かって下ろした線は、ABを垂直に半分に分けます。
つまり、中心Oは線分ABの垂直二等分線の上にあります。
円の中心を探すには、まずABの垂直二等分線を作図すればよいです。
ABの上側にも下側にも正三角形が作れるので、中心の候補は2つあります。
ステップ3: 線分ABの垂直二等分線を作図する
まず、コンパスの幅をABより少し長めに開きます。
点Aに針を置き、ABの上下に弧を描きます。
次に、同じコンパスの幅のまま点Bに針を置き、同じように上下に弧を描きます。
Aから描いた弧とBから描いた弧が交わる2点を結ぶと、線分ABの垂直二等分線になります。
この直線の上に、求める円の中心OとO’があります。
ステップ4: 中心O、O’を決めて円を描く
次に、コンパスの幅をABの長さに合わせます。
点Aに針を置き、点Bに鉛筆の先を合わせると、コンパスの幅がABになります。
その幅のまま、先ほど作図した垂直二等分線と交わる位置を探すと、中心OとO’が決まります。
最後に、Oを中心としてAまたはBを通る円を描きます。
同じように、O’を中心としてAまたはBを通る円も描きます。
答えは、中心OとO’をもつ2つの円
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、点Aや点Bを中心に描いた補助の円を、そのまま答えにしてしまうことです。
点Aを中心に半径ABの円を描くとBは通りますが、Aは中心になってしまうので、Aを通る円ではありません。
作図で描く補助の円と、最後に答えとして描く円を区別しましょう。
2つ目は、円が1つだけだと思ってしまうことです。
ABを底辺にした正三角形は、ABの上側にも下側にも作れるので、条件に合う円の中心も2つあります。
まとめ
- 円を作図するときは、まず中心を見つけることが大切です。
- 半径がABと等しいので、OA = OB = AB となり、三角形OABは正三角形になります。
- 正三角形の頂点Oは、線分ABの垂直二等分線上にあります。
- 条件に合う円は、ABの両側に1つずつ、合計2つあります。
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