正方形を45度回転させた図形は、重なっている部分や斜線部分が入り組んで見えるため、どこから面積を求めればよいか迷いやすい問題です。
この記事では、斜線部分の面積tを直接求めずに、s+2tを2つの正方形の面積として考える方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
正方形ABCDがあり、対角線の交わった点Oを中心に、右へ45度回転させた正方形をEFGHとします。
正方形ABCDと正方形EFGHの重なっている部分、つまり太線で囲まれた部分の面積をs cm²とします。
また、図の斜線部分の面積をt cm²、AOの長さをa cmとします。
このとき、s+2tの値をaを用いた最も簡単な式で表しなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 斜線部分の並び方に注目する
この図では、斜線部分と白い部分がとなり合わず、交互に並んでいます。
このように白黒が交互に出てくる図形では、対称性や規則性を使えないか考えるのがポイントです。
たとえば、正方形EFGHの辺FHのような線を引いて見ると、斜線部分と同じ形の部分が反対側にも対応していることがわかります。
つまり、図の斜線部分の面積tは、2つの正方形を合わせてできる外枠の図形全体の半分と考えられます。
したがって、2tはその外枠の図形全体の面積を表します。
ステップ2: s+2tの意味を考える
求めたいのは、s+2tです。
さきほど、2tは2つの正方形を合わせてできる外枠の図形全体の面積だとわかりました。
そこに、重なっている部分の面積sをもう一度足します。
外枠全体の面積に重なり部分sを足すと、正方形ABCDの面積と正方形EFGHの面積を足したものになります。
s+2t = 正方形ABCDの面積 + 正方形EFGHの面積
2つの正方形は、同じ正方形を45度回転させただけなので、面積は等しいです。
s+2t = 2 × 正方形ABCDの面積
ステップ3: AO=aから正方形の面積を求める
AO=aなので、対角線ACの長さはその2倍です。
AC = 2a
正方形の面積は、ひし形と同じように対角線を使って求めることができます。
正方形の面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2
正方形ABCDの面積 = 2a × 2a ÷ 2
= 4a² ÷ 2
= 2a²
ステップ4: 2つ分の正方形の面積にする
s+2tは、正方形ABCDと正方形EFGHの面積の合計でした。
そのため、正方形1つ分の面積2a²を2倍します。
s+2t = 2 × 2a²
s+2t = 4a²
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: tを直接求めようとする
この問題では、斜線部分1つ1つの面積を計算しようとするとかなり複雑になります。
大切なのは、tそのものを細かく求めるのではなく、2tが図形全体の面積として見られることに気づくことです。
ミス2: 重なっている部分を引くと思ってしまう
2つの図形を合わせる問題では、重なりを引く場面もあります。
しかし今回は、s+2tという式が与えられているため、外枠全体に重なり部分sを足す考え方になります。
その結果、2つの正方形の面積の合計と同じになるのです。
まとめ
- 斜線部分は対称性に注目すると、tを直接求めなくても考えられます。
- 2tは、2つの正方形を合わせた外枠の図形全体の面積として見られます。
- s+2tは、正方形ABCDと正方形EFGHの面積の合計になります。
- AO=aのとき、正方形1つの面積は2a²なので、答えは4a²です。
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