二次方程式の解き方は覚えたのに、文章題になったとたんに手が止まってしまう——中3の数学で、とても多い悩みです。特に図形がからむ問題は「どこを文字でおけばいいのか」でつまずきがちです。
二次方程式の計算はできるんですけど、文章題になると式が作れなくて…。しかもやっと解いても答えが2つ出てきて、どっちを書けばいいのか分からなくて、いつもテストで減点されるんです。
その2つのつまずき、今日で両方すっきりさせよう。文章題は「等しい量」を見つけて式にするのがコツ。そして答えが2つ出たときは、問題の場面に当てはめて”ありえない方”を消す。この問題はそのお手本みたいな問題だから、一緒に解いていこう。
この記事では、公式LINEに実際に届いた「道の幅」の問題を例に、式の立て方・解き方の3ステップ・そして答えが2つ出たときの見分け方を、順番に説明します。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
1. 今回の問題
まず問題文です。
> 縦10m、横12mの長方形の土地に、同じ幅の道を十字に2本作り、残りの土地（4つの長方形）を花壇にします。花壇の面積の合計を80m²にするには、道の幅を何mにすればよいですか。
> (1) 道の幅をxmとして、方程式をつくりなさい。
> (2) その方程式を解いて、道の幅を求めなさい。
土地の真ん中に縦・横の道が十字に走っていて、残った4つの角が花壇、というイメージです。この4つの花壇の面積を合わせて80m²にしたい、という問題ですね。
2. 核になる考え方：道を”端に寄せて”1か所にまとめる
この問題の一番のポイントは、最初に手を動かす前の「考え方」にあります。
花壇が4か所にバラバラにあると、面積を計算するのがめんどくさそうじゃない？だから、道を端っこに寄せて、花壇を1か所の長方形にまとめちゃおう。これができれば、この問題はほぼ解けたようなものなんだ。
十字の道は、真ん中にあっても右端・下端に寄せても、花壇の面積の合計は変わりません。だったら計算しやすい形に動かしてしまおう、というわけです。これは「道の平行移動」と呼ばれる、この手の問題の定番テクニックです。
- 縦の道を右端に寄せる
- 横の道を下に寄せる
こうすると、バラバラだった4つの花壇が、左上の1つの大きな長方形にまとまります。この長方形の面積が80m²になればOK、と考えるわけです。
ここで大事なのは、「道の幅の分だけ、花壇の縦と横が短くなる」という点です。
- 横の長さ：もとの12mから、道の幅x mを引いて (12 − x) m
- 縦の長さ：もとの10mから、道の幅x mを引いて (10 − x) m
3. (1) 方程式をつくる
まとめた花壇は、縦(10 − x)m・横(12 − x)mの長方形です。長方形の面積は「縦 × 横」で求まりますね。これが80m²になればいいので、方程式はこうなります。
(10 − x)(12 − x) ＝ 80
これが(1)の答えです。「道を1か所に寄せる」→「縦と横をxで表す」→「縦×横＝80」という流れさえつかめれば、式は自然と出てきます。
4. (2) 方程式を解く（3ステップ）
ここからは計算です。あわてず1ステップずつ進めましょう。
ステップ1：展開して整理する
まずは左辺を展開（分配法則で計算）します。
120 − 10x − 12x ＋ x² ＝ 80
xの項をまとめると、
x² − 22x ＋ 120 ＝ 80
右辺の80を左辺に移項して、「＝0」の形（二次方程式の基本形）に直します。
x² − 22x ＋ 40 ＝ 0
120 − 80 ＝ 40 で、符号はプラスです。ここをうっかりマイナスにしてしまうミスが多いので気をつけてください。
ステップ2：因数分解する
x² − 22x ＋ 40 を因数分解します。「かけて＋40、たして−22」になる2つの数をさがすと、−2と−20が見つかります。
(x − 2)(x − 20) ＝ 0
よって、
x ＝ 2、x ＝ 20
ステップ3：条件に合う方を選ぶ（ここが本番）
ここでトラップがあるよ。x＝2とx＝20、どっちが道の幅として正解だと思う？
うーん、20…ですか？
本当に？横が12m、縦が10mの土地だよ。道の幅が20mだったら、どうなる？
あ、土地からはみ出しちゃう…。2です！
そうです。道の幅が20mでは、土地の縦10m・横12mをはるかに超えてしまい、そもそも道が作れません。だからx＝20は問題の場面にありえないので却下します。
答え：道の幅は x ＝ 2（m）
5. なぜ答えの「吟味」が必要なのか
二次方程式の答えって、2つ出ることが多いんだ。両方が答えの場合もあるけど、今回みたいに”片方だけ”が答えの場合もすごく多い。だから最後に「これって成立するんだっけ？」って必ず確認してほしいんだ。
計算そのものは合っていても、x＝2とx＝20を両方書いてしまうと×になります。テスト中であわてていても、最後にひと呼吸おいて「この数、問題の場面でありえる？」と確かめるクセをつけましょう。
今回のように「長さ」や「道の幅」を求める問題では、次のような数は答えになりません。
- マイナスの数（長さや幅がマイナスになることはない）
- もとの長さより大きい数（土地や辺からはみ出してしまう）
この2つのどちらかに当てはまったら、その解は却下です。「答えが2つ出たら、場面に当てはめて確かめる」——これが文章題で満点を取るための、最後のひと手間です。
6. よくあるつまずき3つ
つまずき①：道を平行移動せず、そのまま計算しようとする
十字の道を真ん中に置いたまま4つの花壇を計算しようとすると、式がとても複雑になります。まず道を端に寄せて花壇を1つの長方形にまとめる。この一手を知っているかどうかで、難易度がまったく変わります。
つまずき②：整理したときの符号をまちがえる
120 − 80 を計算するときに、うっかり −40 としてしまうミスです。移項したあとの定数項は＋40。ここを間違えると因数分解もずれるので、符号は指さし確認でいきましょう。
つまずき③：答えを吟味せずに2つとも書く
これが一番の失点ポイントです。x＝2とx＝20が出たら、土地のサイズを超える20は消す。長さ・幅・人数・個数のように「現実にありえる範囲」が決まっている問題では、必ず最後に吟味してください。
7. FAQ
Q. どうして道を右端や下に寄せていいの？ズルじゃないの？
ズルではありません。道が真ん中にあっても端にあっても、花壇（残りの土地）の面積の合計は変わらないからです。面積が同じなら、計算しやすい形に動かして考えてOK、というのが平行移動の考え方です。
Q. 答えが2つとも正解になることもあるの？
あります。たとえば「ある数」を求める問題などでは、2つとも条件を満たすことがあります。大事なのは「2つ出たら必ず場面に当てはめて確認する」こと。機械的にどちらかを消すのではなく、その都度チェックしてください。
Q. 因数分解ができないときはどうすればいい？
「かけて○○、たして△△」になる整数が見つからないときは、解の公式を使います。x² − 22x ＋ 40 のように整数で因数分解できる場合は因数分解の方が速いので、まずは因数分解を試して、無理そうなら解の公式に切りかえる、という順番がおすすめです。
8. まとめ
・十字の道の問題は、まず道を端に寄せて花壇を1つの長方形にまとめる
・道の幅をxとすると、花壇は縦(10−x)m・横(12−x)mの長方形
・面積の式は (10−x)(12−x)＝80、整理すると x²−22x＋40＝0
・因数分解して (x−2)(x−20)＝0 より x＝2、20
・x＝20は土地の大きさを超えるので却下、答えは道の幅2m
・答えが2つ出たら、場面に当てはめて”ありえない方”を必ず消す
この問題は、Lafの公式LINEに実際に届いた質問をもとに動画で解説したものです。「文章題の式の立て方が分からない」「この問題の答え、2つのうちどっちを書けばいいか見てほしい」——そんなときは、公式LINEから気軽に送ってください。
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