平行な2直線にはさまれた図形の角度問題は、どこに補助線を引くかで解きやすさが大きく変わります。
この記事では、正三角形と二等辺三角形が出てくる角度問題で、錯角・同位角を使って角xを求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の図で、直線Lと直線Mは平行です。
AB = BC、CD = DAのとき、角xの大きさを求めます。
- （1）ABCが正三角形で、平行線との間に20°の角がある図形です。角xを求めます。
- （2）AB = BC、CD = DAより、ACを引くと2つの二等辺三角形ができる図形です。図には70°、76°、34°が与えられています。角xを求めます。
ポイントは、正三角形や二等辺三角形だけを見るのではなく、平行線に合わせて補助線を引くことです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: （1）は角xのところに補助線を引く
平行な2直線にはさまれた角度問題では、求めたい角のところに補助線を引くと、錯角や同位角が使いやすくなります。
（1）では、角xの位置に平行線と同じ向きの補助線を引きます。
すると、与えられている20°の角を、錯角を使って補助線のところへ移すことができます。
対応する角は20°です。
ステップ2: 正三角形の60°から引く
ABCは正三角形なので、3つの内角はすべて60°です。
角xは、その60°から先ほど移した20°を引いた角になります。
60° – 20° = 40°
（1）の答えは x = 40°
ここでは、正三角形の情報に引っ張られすぎず、まず補助線を引くことが大切です。
ステップ3: （2）はACを引いて2つの二等辺三角形を作る
（2）では、条件のAB = BCとCD = DAに注目します。
ACを引くと、三角形ABCと三角形ACDの2つができます。
AB = BCなので、三角形ABCは二等辺三角形です。
CD = DAなので、三角形ACDも二等辺三角形です。
等しい辺を見つけたら、二等辺三角形の底角が等しいことを使います。
ステップ4: 右半分55°、左半分35°を足す
まず、三角形ABCを見ます。
頂角が70°なので、残りの2つの底角の合計は110°です。
180° – 70° = 110°
二等辺三角形なので、底角は2つとも等しくなります。
110° ÷ 2 = 55°
これで、角xの右半分が55°だとわかります。
次に、三角形ACDを見ます。
ここでも平行線を使うために補助線を引くと、76°と34°を錯角や同位角で移すことができます。
76° + 34° = 110°
三角形ACDの頂角が110°になるので、残りの2つの底角の合計は70°です。
180° – 110° = 70°
二等辺三角形なので、底角は2つとも等しくなります。
70° ÷ 2 = 35°
これで、角xの左半分が35°だとわかります。
最後に、右半分55°と左半分35°を足します。
55° + 35° = 90°
（2）の答えは x = 90°
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、正三角形の60°だけに注目して、平行線の補助線を忘れてしまうことです。
平行線がある問題では、錯角や同位角を作るために補助線を引けないかを最初に考えましょう。
2つ目は、AB = BC、CD = DAという条件を見落として、二等辺三角形に気づけないことです。
等しい辺が出てきたら、底角が等しいという性質が使えるか確認しましょう。
まとめ
- 平行な2直線にはさまれた角度問題では、角のところに補助線を引くと考えやすくなります。
- 正三角形の内角はすべて60°なので、（1）は60° – 20° = 40°です。
- AB = BC、CD = DAから、ACを引くと2つの二等辺三角形が見つかります。
- （2）は55° + 35°で、x = 90°になります。
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