硬貨の両替問題は、文章が長くて何を文字にすればよいか迷いやすい単元です。
この記事では、10円玉と50円玉を両替していく問題を、枚数の変化に注目して連立方程式で解く方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
10円玉と50円玉が全部で610円分あります。
手順1では、10円玉をすべて5円玉に両替し、50円玉をすべて10円玉に両替します。
手順2では、手順1の後にある10円玉のうち、何枚かを5円玉に両替し、また別の何枚かを5円玉1枚と1円玉5枚に両替します。
手順1の後、10円玉は5円玉より13枚多くなりました。
手順2の後、硬貨の枚数は手順2の前の2倍になり、残った10円玉はちょうど100円玉2枚と両替できました。
このとき、手順1の前にあった10円玉と50円玉の枚数、さらに手順2の後にある1円玉と5円玉の枚数を求めます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 最初の10円玉と50円玉を文字でおく
最初にあった10円玉をx枚、50円玉をy枚とします。
全部で610円分あるので、金額の式を立てます。
10x + 50y = 610
両辺を10で割ると、計算しやすくなります。
x + 5y = 61
ステップ2: 手順1後の枚数の関係を式にする
10円玉1枚は、5円玉2枚に両替できます。
そのため、最初の10円玉x枚は、手順1後に5円玉2x枚になります。
50円玉1枚は、10円玉5枚に両替できます。
そのため、最初の50円玉y枚は、手順1後に10円玉5y枚になります。
手順1後に10円玉が5円玉より13枚多いので、10円玉の枚数 = 5円玉の枚数 + 13 と考えます。
5y = 2x + 13
ステップ3: 連立方程式を代入法で解く
ここまでで、次の2つの式ができました。
x + 5y = 61
5y = 2x + 13
2つ目の式の5yを、1つ目の式にそのまま代入します。
x + 2x + 13 = 61
3x + 13 = 61
3x = 48
x = 16
次に、x = 16を5y = 2x + 13に代入します。
5y = 2 × 16 + 13
5y = 45
y = 9
手順1の前は、10円玉が16枚、50円玉が9枚です。
ステップ4: 手順2後の1円玉と5円玉を求める
手順1後、5円玉は2 × 16 = 32枚、10円玉は5 × 9 = 45枚あります。
45枚の10円玉のうち、5円玉だけに両替した枚数をa枚、5円玉1枚と1円玉5枚に両替した枚数をb枚とします。
すると、残る10円玉は45 – a – b枚です。
5円玉は、もともとの32枚に、2a枚とb枚が増えます。
1円玉は、5b枚になります。
手順2後の硬貨の合計は、手順2前の2倍です。
手順2前は45 + 32 = 77枚なので、手順2後は154枚です。
(45 – a – b) + (32 + 2a + b) + 5b = 154
77 + a + 5b = 154
a + 5b = 77
また、残った10円玉は100円玉2枚、つまり200円分です。
10円玉200円分は20枚なので、45 – a – b = 20です。
a + b = 25
2つの式を解きます。
a + 5b = 77
a + b = 25
引き算すると、4b = 52です。
b = 13
a = 12
5円玉は32 + 2 × 12 + 13 = 69枚です。
1円玉は5 × 13 = 65枚です。
手順2後は、5円玉が69枚、1円玉が65枚です。
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目のミスは、50円玉1枚を10円玉にすると5枚になることを忘れることです。
50円玉y枚は10円玉5y枚になるので、金額ではなく枚数の変化として整理しましょう。
2つ目のミスは、手順2で増える5円玉の数を混同することです。
10円玉を5円玉だけに替える場合は2枚、5円玉と1円玉に替える場合は5円玉1枚と1円玉5枚です。
まとめ
- 最初の10円玉をx枚、50円玉をy枚として、まず金額の式を作ります。
- 両替問題は、硬貨1枚が何枚に変わるかを図のように整理すると考えやすくなります。
- 手順1後の関係から5y = 2x + 13を作り、代入法で解けます。
- 手順2では、10円玉をa枚、b枚に分けて考えると、1円玉と5円玉の枚数まで求められます。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
あわせて読みたい
動画でくわしく確認する
この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
わからない問題は無料で質問できます
「ここがまだ分からない」「似た問題も解いてほしい」というときは、オンライン学習塾Lafの公式LINEへどうぞ。写真を送るだけで、あなたの分からない問題に無料で直接お答えします。
関連記事