タイルの規則性の問題は「縦長・横長の見極め」で解ける【中1数学・入試レベル】2 min read

方程式や計算はできるのに、こういう「図がたくさん出てくる規則性の問題」になると、どこから手をつけていいかわからなくなる——中1の数学で本当に多いつまずきです。

今回あつかうのは、灰色と白色のタイルを枠の内側にどんどん並べていく問題。実際に公式LINEに届いた、新潟県の入試問題です。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

1. 今回の問題

まず問題文です。

> 灰色と白色の、同じ大きさの正方形のタイルをたくさん用意する。図1のように、灰色のタイルを縦・横いずれも5個以上となるように、縦にa個、横にb個すき間なく並べて長方形の枠を作る。次に図2のように、枠の内側に「ア：灰色のタイルの内側に接するように白色のタイルを並べる」「イ：白色のタイルの内側に接するように灰色のタイルを並べる」という操作を、すき間がなくなるまでくり返す。
> （1）一番外側に並べた灰色のタイルの個数を、a、bを用いて表しなさい。
> （2）a＝9、b＝6のときは、最後に並べる同じ色のタイルの個数が10個になる（図3）。a＝7、b＝10のとき、最後に並べる同じ色のタイルの個数は何個か。
> （3）b＝14のとき、最後に並べる同じ色のタイルの個数が4個となった。このときのaの値を求めなさい。

灰色→白色→灰色→白色…と、外側から内側へ交互に色を変えながら、すき間がなくなるまで並べていく、というイメージですね。それでは1問ずつ見ていきましょう。

 

2. （1）一番外側のタイルの個数——ここは自力でいける

まず（1）。一番外側にぐるっと並んだ灰色タイルの数を、a、bで表します。この問題を送ってくれた生徒さんは、ここは自分で式を作れていました。考え方はこうです。

たての辺が2本あるので、まず、

たて2本ぶん ＝ a ＋ a ＝ 2a（個）

横の辺も2本あるので、

横2本ぶん ＝ b ＋ b ＝ 2b（個）

ただし、このまま足すと四すみの角のタイルを2回ずつ数えてしまうんですね。角は全部で4つあるので、4個ぶんを引きます。

2a ＋ 2b − 4（個）

これが（1）の答えです。「たてと横を2本ずつ足して、重なる角を4つ引く」——枠のまわりを数える問題の定番の形なので、ここは形で覚えてしまってOKです。

 

3. 解く前に：この問題を解くための「2つの前提」

（2）からが本番です。でもその前に、いちばん大事な考え方を先に言います。ここを飛ばすと、絶対に手が止まります。

前提①：内側に1周並べるごとに、たても横も2個ずつ減る

外側から内側へ1周ぶん並べると、たての長さも横の長さも、両サイドから1個ずつ、合わせて2個ずつ短くなっていきます。たとえばたてが7だったら、7 → 5 → 3 → 1 と減っていく、というわけです。

前提②：解き出す前に「縦長の長方形か、横長の長方形か」を見極める

ここが最大のポイントです。たてと横で長さがちがうと、どちらかが先に「カツカツ」になって、そこで並べ終わります。だから、たてと横のどちらを基準に減らしていくのかを、計算を始める前にはっきりさせておく必要があります。

 

4. （2）a＝7、b＝10のとき——最後は何個？

では（2）です。たてa＝7、横b＝10。

 

ステップ1：縦長か横長かを見極める

まず前提②です。たてが7、横が10。横のほうが長いので「横長」の長方形ですね。図3が縦長だったので縦長のイメージに引っぱられがちですが、今回は数字を見れば横長。だから、先にカツカツになるのは「たて」のほうです。

 

ステップ2：たてが1になるまで減らす

前提①より、たては1周ごとに2個ずつ減ります。たての7からスタートすると、

7 → 5 → 3 → 1

このように、3周ぶん並べるとたては1個になります。

 

ステップ3：横に何列残るかを数える

一方の横は10。たてを1にするまでに3周ぶん並べたので、横も左から3列、右から3列、合わせて6列ぶんが使われます。だから真ん中に残る列は、

10 − 6 ＝ 4（列）

最後に残るのは「たて1個 × 横4列」の形。つまり同じ色のタイルが横一列に4個並んだ状態です。

答え：4個

 

5. （3）b＝14で最後が4個——aはいくつ？【場合分け】

最後の（3）が、この問題のいちばんの山場です。横b＝14で、最後に並べるタイルが4個になった。このときのaを求めます。

ここでのポイントは、「最後が4個になる形」は1種類じゃないということ。答えを1つだと思い込むと、片方を見落として減点されてしまいます。最後に4個で終わる形を、落ち着いて数えてみましょう。

 

パターンをまず洗い出す

同じ色のタイルが4個で終わる形は、次の3つが考えられます。

• ア：横1列に4個（＝たてが1、横が4で終わる）
• イ：たて1列に4個（＝横が1、たてが4で終わる）
• ウ：2個×2個の正方形（＝たて2、横2で終わる）

このうち、イ（たて1列）は今回ありえません。たて1列で終わるということは、横が最後に1になるということ。でも横のb＝14は偶数です。偶数は 14 → 12 → … → 2 → 0 と減っていくので、途中で1になることはありません。1になれるのは奇数だけ。だから、考えるのはアとウの2パターンです。

 

パターンア：最後が「横1列に4個」のとき

最後が横1列に4個ということは、この4個ぶんが横の中央に残る形です。横14からこの4個ぶんを引いて、残りを左右で半分こします。

14 − 4 ＝ 10

10 ÷ 2 ＝ 5

左から5周、右から5周、真ん中に4個、という並びですね。つまり横は「5 ＋ 4 ＋ 5」で14。ここで思い出したいのが前提①、1周ごとにたても横も同じだけ減るということ。横が中央に届くまで5周かかったなら、たても同じ5周ぶん減っています。

たては1周で2個ずつ減るので、5周ぶんで 2 × 5 ＝ 10個。最後にたてが1（横1列だから）で終わるには、

a ＝ 1 ＋ 10 ＝ 11

たてを並びで見ると5 ＋ 1 ＋ 5、つまり上下に5周ずつで中央に1列を残す形です。たて11、横14。たしかに横長で、たてが 11 → 9 → 7 → 5 → 3 → 1 と減って最後に横1列4個が残ります。a＝11がひとつ目の答えです。

 

パターンウ：最後が「2個×2個」のとき

もうひとつは、最後が2×2の正方形で終わるパターン。このときは、たても横も最後に2で終わる必要があります。横14が最後に2で終わるには、

6 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 14

このように、左右に6列ずつ並べて中央に2列残す形になります。たてと横がまったく同じ条件でそろわないと2×2にはならないので、たても同じく、

a ＝ 6 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 14

たて14、横14。両方が同時に2までカツカツになって、最後に2×2の4個が残ります。a＝14がふたつ目の答えです。

 

（3）の答え

答え：a ＝ 11、a ＝ 14 の2つ

条件の「たて・横いずれも5個以上」も、11も14もどちらも満たしています。「答えは1つ」と決めつけない——これが（3）で満点を取るための最大のコツです。

 

6. よくあるつまずき3つ

つまずき①：図の「縦長」の見た目に引っぱられる

（2）の図3がたまたま縦長だったせいで、たてを基準に考え続けてしまうミスです。図の見た目ではなく、a と b の数字の大小で「縦長・横長」を判断してください。図はわざとミスリードしてくることがあります。

つまずき②：縦と横どちらを基準にするか決めずに数え始める

「とりあえず並べてみよう」と手を動かし始めると、途中でたてと横がこんがらがって数え間違えます。先にカツカツになるのはどっちかを最初に決めてから動くと、一気に見通しがよくなります。

つまずき③：答えを1つだと思い込む（場合分けの見落とし）

（3）のように「最後が4個」と言われたとき、横1列・たて1列・2×2という複数の終わり方があります。1つ見つけて満足せず、ほかの形はないかを必ず確認しましょう。今回はたて1列が偶数の条件で消えるので、答えは2つでした。

 

7. FAQ

Q. そもそも、こういう問題の図ってどう書けばいいの？

きれいに全部を書く必要はありません。「たての列が7、5、3、1と減っていく」ことがわかる簡単な図で十分です。外側の枠を1つ書いて、その中に一回り小さい枠、さらに小さい枠…と、玉ねぎのように何本か線を引くイメージ。全部のマスを描こうとすると時間がかかるので、「たてと横が何個ずつか」だけメモできればOKです。

Q. 1周で2個ずつ減るのはなぜ？

内側に1周並べると、たての辺は上と下から1個ずつ内側に入ってきます。上で1個、下で1個、合わせて2個短くなる、というわけです。横も同じで、左右から1個ずつで2個減ります。だから「1周＝たても横も−2」とセットで覚えてしまいましょう。

Q. 最後が「1列」になるか「2×2」になるかは、何で決まるの？

たて・横の数が偶数か奇数かで決まります。奇数は 7 → 5 → 3 → 1 と最後に1になるので「1列」で終わり、偶数は 14 → … → 2 と最後に2になるので「2×2」で終わります。（3）で横14（偶数）のときにたて1列がありえなかったのは、この仕組みが理由です。

 

8. まとめ

この問題は、Lafの公式LINEに実際に届いた質問をもとに動画で解説したものです。「図の書き方からわからない」「この規則性の問題の解き方を教えてほしい」——そんなときは、公式LINEから気軽に送ってください。

無料のオンライン授業や自習室も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。

 

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