分母に√が入った分数が2つ並ぶと、「有理化するのかな」「通分するのかな」と迷いやすいです。
この記事では、1/(1+√3)+1/(1−√3) を、動画と同じように通分で整理して解く流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の式を計算しなさい。
1/(1+√3)+1/(1−√3)
分母が「1+√3」と「1−√3」でよく似た形になっています。
このような形では、2つの分母をかけて通分すると、分母がすっきり整理できます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 分母をそろえる考え方を確認する
まず、ふつうの分数の通分を思い出しましょう。
1/3+1/5 のときは、分母を15にそろえます。
1/3 = 5/15
1/5 = 3/15
だから、分母が同じになり、分子だけをたして計算できます。
今回も同じように、分母の「1+√3」と「1−√3」をそろえます。
左の分数には、分母と分子に1−√3をかけます。
右の分数には、分母と分子に1+√3をかけます。
ステップ2: 実際に通分する
1/(1+√3)+1/(1−√3)
= (1×(1−√3))/((1+√3)(1−√3)) + (1×(1+√3))/((1−√3)(1+√3))
分母はどちらも同じなので、1つにまとめられます。
= ((1−√3)+(1+√3))/((1+√3)(1−√3))
分子にも同じものをかけるので、式の値は変わりません。
ステップ3: 分子を計算する
分子は、かっこを外して同じ種類の項をまとめます。
(1−√3)+(1+√3)
= 1−√3+1+√3
= 2
−√3 と +√3 は打ち消し合って0になります。
そのため、分子には2だけが残ります。
ステップ4: 分母を公式で計算する
分母は、(1+√3)(1−√3) です。
これは、式の展開で習う公式と同じ形です。
(a+b)(a−b)=a²−b²
今回の場合は、a=1、b=√3 と考えます。
(1+√3)(1−√3)
= 1²−(√3)²
= 1−3
= −2
よって、全体は次のようになります。
2/−2 = −1
答えは −1 です。
よくあるミス・つまずきポイント
分母だけにかけてしまう
通分するときは、分母だけでなく分子にも同じものをかける必要があります。
左の分数なら、分母に1−√3をかけたら、分子にも1−√3をかけます。
分母と分子に同じものをかけるから、もとの分数と同じ値のまま通分できます。
分母の符号を間違える
(1+√3)(1−√3) は、1²−(√3)² です。
√3² は3なので、1−3=−2 になります。
ここを 3−1 としてしまったり、+2 としてしまったりすると、最後の答えの符号が逆になります。
まとめ
- 1/(1+√3)+1/(1−√3) は、通分で考えると整理しやすいです。
- 左の分数には1−√3、右の分数には1+√3をかけて分母をそろえます。
- 分母は (a+b)(a−b)=a²−b² の公式で計算します。
- 最終的な答えは −1 です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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