「aが入った二次方程式で、解が整数になる条件がわからない」と感じる人は多いです。
この記事では、(x+2)(x−4)=a の形から、整数解を使ってもっとも小さい自然数aを求める流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
方程式 (x+2)(x−4)=a の解が整数となるとき、もっとも小さい自然数 a を求めなさい。
ここでの自然数は、1、2、3、……のような正の整数です。
0や負の数は自然数に入れないことに注意します。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: まず展開して右辺を0にする
二次方程式として考えるために、左辺を展開します。
(x+2)(x−4)=a
x²−2x−8=a
右辺を0にするために、aを左辺へ移項します。
x²−2x−8−a=0
x²−2x−(8+a)=0
二次方程式は、右辺を0にしてから因数分解の形で考えるのがポイントです。
ステップ2: 2つの整数解をm、nとおく
解が整数になるということは、2つの整数解を m、n とおけるということです。
そのとき、方程式は次の形になります。
(x−m)(x−n)=0
展開すると、次のようになります。
(x−m)(x−n)=x²−(m+n)x+mn
これを x²−2x−(8+a)=0 と比べます。
すると、xの係数から次の関係がわかります。
m+n=2
また、定数の部分から次の関係がわかります。
mn=−8−a
aは自然数なので、aは1以上です。
そのため、−8−a は −9以下の負の数になります。
ステップ3: 和が2になる整数の組を調べる
mnが負の数になるので、mとnは片方が正の数、もう片方が負の数です。
さらに、m+n=2 になるように整数の組を考えます。
たとえば、次のように調べられます。
m=3、n=−1 のとき、m+n=2、mn=−3
m=4、n=−2 のとき、m+n=2、mn=−8
m=5、n=−3 のとき、m+n=2、mn=−15
条件は mn=−8−a で、−8−a は −9以下です。
−3や−8は−9以下ではないので、まだ条件に合いません。
最初に条件に合うのは、mn=−15 のときです。
ステップ4: aを求める
mn=−15 のとき、mn=−8−a に代入します。
−8−a=−15
−a=−7
a=7
したがって、もっとも小さい自然数aは次の通りです。
a=7
実際に確認すると、a=7 のとき方程式は次のようになります。
(x+2)(x−4)=7
x²−2x−15=0
(x−5)(x+3)=0
x=5、−3
どちらも整数なので、条件に合っています。
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: xの係数の符号をまちがえる
(x−m)(x−n) を展開すると、x²−(m+n)x+mn です。
今回の式は x²−2x−(8+a)=0 なので、m+n=2 になります。
xの係数が−2だからといって、すぐにm+n=−2としないようにしましょう。
ミス2: 自然数に0を入れてしまう
この問題では、aは自然数です。
自然数は1、2、3、……なので、a=0は考えません。
aが1以上だから、−8−a は−9以下になると考えます。
まとめ
- (x+2)(x−4)=a は、展開して右辺を0にします。
- 整数解をm、nとおくと、m+n=2、mn=−8−a になります。
- aが自然数なので、−8−a は−9以下になります。
- 最初に条件に合う積は−15なので、答えはa=7です。
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