二次方程式の文章題では、「何をxとおけばいいのか」で手が止まりやすいです。
今回は、正方形の紙の4隅を切り取って箱を作る問題を使って、体積から元の一辺の長さを求める流れを解説します。
この記事でわかることは、図形の体積を二次方程式にして解く手順です。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
正方形の紙の4隅から、1辺が3cmの正方形を切り取ります。
それを折り上げて、ふたのない直方体の箱を作ったところ、体積が243cm³になりました。
元の正方形の紙の1辺の長さを、方程式を作って求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 聞かれているものをxとおく
文章題では、まず最終的に聞かれているものを文字でおくのが基本です。
この問題で聞かれているのは、「元の正方形の紙の1辺の長さ」です。
そこで、元の正方形の紙の1辺の長さをxcmとおきます。
「方程式を作って求めなさい」ではなく、実際に求めたい長さをxとおくことが大切です。
ステップ2: 箱の底面の1辺を考える
4隅から3cmの正方形を切り取ると、元の1辺から左に3cm、右に3cmがなくなります。
つまり、底面の1辺の長さは、xから6cmを引いた長さになります。
底面の1辺 = x – 6
元の紙は正方形なので、底面のたてと横はどちらもx – 6です。
また、切り取った3cmの部分を折り上げるので、箱の高さは3cmです。
底面の1辺がx – 3ではなくx – 6になるのは、両側から3cmずつ切り取るからです。
ステップ3: 体積の式を作る
直方体の体積は、底面積×高さで求めます。
体積 = 底面積 × 高さ
底面積は、(x – 6)×(x – 6)なので、(x – 6)^2です。
高さは3cm、体積は243cm³なので、次の方程式になります。
3(x – 6)^2 = 243
ステップ4: 二次方程式を解いて、条件を確認する
まず、両辺を3で割ります。
3(x – 6)^2 = 243
(x – 6)^2 = 81
81は9^2なので、平方根を使って考えます。
x – 6 = ±9
x = 6 ± 9
x = 15, -3
ここで、xは元の正方形の1辺の長さなので、マイナスの長さはありえません。
また、3cmずつ切り取るため、xは6より大きくないと箱の底面ができません。
答えは15cm
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: xを何にするか決められない
文章題では、まず「何を求めたい問題なのか」を探しましょう。
今回なら、求めたいのは元の正方形の1辺の長さです。
聞かれているものをxとおくと、式を作る流れがかなり楽になります。
ミス2: 底面の1辺をx – 3にしてしまう
切り取る長さが3cmだからといって、底面の1辺をx – 3にしてしまうのはよくあるミスです。
1辺の両端から3cmずつ切り取るので、全部で6cm短くなります。
そのため、底面の1辺はx – 6です。
まとめ
- 二次方程式の文章題では、まず聞かれているものをxとおきます。
- 4隅から3cmずつ切り取るので、底面の1辺はx – 6になります。
- 体積の式は3(x – 6)^2 = 243です。
- 解を出したあと、長さとして条件に合うかを必ず確認します。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
あわせて読みたい
動画でくわしく確認する
この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
わからない問題は無料で質問できます
「ここがまだ分からない」「似た問題も解いてほしい」というときは、オンライン学習塾Lafの公式LINEへどうぞ。写真を送るだけで、あなたの分からない問題に無料で直接お答えします。
関連記事