「√140aが自然数になるように」と言われると、何をすればよいか迷いやすい問題です。
ポイントは、ルートの中を平方数にするために、足りない素因数を見つけることです。
この記事では、√140aが自然数となる最小の自然数aを、素因数分解から順に求める方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を解きます。
√140aが自然数となるような自然数aのうち、最も小さいものを求めなさい。
ここでの√140aは、140a全体が根号の中にあると考えます。
ルートの中が完全な平方数になれば、√140aは自然数になります。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 140を素因数分解する
まず、ルートの中にある140を素因数分解します。
140 = 14 × 10
14 = 2 × 7
10 = 2 × 5
したがって、140は次のように表せます。
140 = 2² × 5 × 7
2は2つあるので2²になりますが、5と7はまだ1つずつしかありません。
ステップ2: √140aの中身を書きかえる
素因数分解した形を使って、√140aを書きかえます。
√140a = √(2² × 5 × 7 × a)
2²は2乗になっているので、根号の外に出すことができます。
√(2² × 5 × 7 × a) = 2√(5 × 7 × a)
根号の中に残っている5と7も、それぞれ2個ずつそろえば外に出せます。
ステップ3: 足りない素因数を考える
5は今1個だけあるので、2乗にするにはもう1個5が必要です。
7も今1個だけあるので、2乗にするにはもう1個7が必要です。
つまり、aには5と7をかければよいことになります。
a = 5 × 7
a = 35
このとき、ルートの中は次のようになります。
140 × 35 = 2² × 5² × 7²
√(2² × 5² × 7²) = 2 × 5 × 7
√4900 = 70
70は自然数なので、条件を満たします。
ステップ4: 「最も小さい」を確認する
aに5と7を1つずつ入れると、足りない分がちょうどそろいます。
たとえば5をさらに多くかけることもできますが、その場合はaが大きくなってしまいます。
答えは a = 35
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: 2ももう1つ必要だと思ってしまう
140 = 2² × 5 × 7なので、2はすでに2個そろっています。
2²は根号の外に出せるため、aにさらに2をかける必要はありません。
足りないのは、1個ずつしかない5と7です。
ミス2: 自然数になるだけで満足してしまう
この問題は、自然数になるaを1つ見つけるだけでは終わりません。
「最も小さいもの」を求めるので、余分な数をかけないことが大切です。
5を3個にしたり、7を3個にしたりしても自然数になる場合はありますが、最小ではありません。
まとめ
- √140aを自然数にするには、ルートの中を平方数にします。
- 140を素因数分解すると、140 = 2² × 5 × 7です。
- 5と7が1個ずつ足りないので、a = 5 × 7 と考えます。
- 最小の自然数aは35です。
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