平方根の問題で「√(576−a) が自然数になる」と言われると、何を考えればよいか迷いやすいです。
この記事では、a の条件を整理し、ルートの中を平方数にする考え方を使って、a の値を求める流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
a は4の倍数で、7で割ると2余る自然数である。
√(576−a) が自然数となるような a の値を求めなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: a の条件を整理する
a は4の倍数なので、まず4の倍数を書き出して考えます。
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
これらを7で割った余りは、順に4, 1, 5, 2, 6, 3, 0, 4, …となります。
余りは7個ごとに同じ並びをくり返しています。
7で割ると2余る4の倍数は、最初が16で、そこから28ずつ増える数です。
したがって、a は次のように表せます。
a = 16 + 28k
ここで k は0以上の整数です。
たとえば k = 0 のとき a = 16、k = 1 のとき a = 44 となり、どちらも7で割ると2余ります。
ステップ2: √(576−a) に代入する
次に、a = 16 + 28k を √(576−a) の中に代入します。
√(576−a) = √{576−(16 + 28k)}
= √(560−28k)
= √{28(20−k)}
= √{4×7×(20−k)}
= 2√{7(20−k)}
√(576−a) が自然数になるには、ルートの中の 7(20−k) が平方数になればよいです。
ステップ3: 7(20−k) が平方数になる条件を考える
平方数とは、1, 4, 9, 16, 25, 36, …のように、同じ整数を2回かけてできる数です。
また、ルートの中が負になると平方根は中学数学の範囲では考えられないので、560−28k は0以上である必要があります。
つまり、20−k は0以上20以下の整数です。
7(20−k) が平方数になるには、20−k が7をもう1つ含む形になればよいです。
0から20の範囲で考えると、7×1² = 7 は使えます。
次の 7×2² = 28 は20をこえてしまうので使えません。
また、20−k = 0 のときは √(576−a) = 0 となり、自然数にはしません。
よって、この範囲で条件を満たすのは 20−k = 7 だけです。
ステップ4: k と a を求める
20−k = 7 を解きます。
20−k = 7
k = 13
これを a = 16 + 28k に代入します。
a = 16 + 28×13
= 16 + 364
= 380
確認すると、576−380 = 196 です。
√196 = 14 なので、たしかに自然数になります。
答えは a = 380
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、a をいきなり a = 4k とおいただけで止まってしまうことです。
この問題では「4の倍数」だけでなく「7で割ると2余る」も使う必要があります。
4の倍数の中で、7で割った余りが2になるものを探すと、a = 16 + 28k まで整理できます。
2つ目は、ルートの中が平方数になる条件を見落とすことです。
√の値が自然数になるには、ルートの中が 1, 4, 9, 16, 25, …のような平方数でなければなりません。
今回は 2√{7(20−k)} の形になるので、7(20−k) が平方数になるかを考えます。
まとめ
- a が4の倍数で7で割ると2余るので、a = 16 + 28k と表せます。
- √(576−a) に代入すると、2√{7(20−k)} の形になります。
- 自然数になるには、ルートの中が平方数になることを考えます。
- 条件を満たすのは k = 13 なので、a = 380 です。
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