正方形の上を動く2点がつくる三角形、面積が10cm²になるのは何cm動いたとき？【中3数学 二次方程式】1 min read

生徒

「X使って解きなさい」までは分かるんですけど、AP=xにしたときの式の作り方がもう分からなくて…

おっしー

あーなるほどね、これじゃあめちゃくちゃ簡単だから、一緒に手元見ていこうか。

これは、ラフ先生の公式LINEに実際に届いた質問です。正方形の辺の上を2点が同時に動く、中3の「二次方程式の利用」でよく出るタイプの図形問題ですね。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

今回の問題

正方形ABCDがあり、点PはAを出発して辺AD上をDまで動きます。また点Qは、点PがAを出発するのと同時にDを出発し、Pと同じ速さで辺DC上をCまで動きます。

1. AP＝xcmとするとき、PD、DQの長さをxを使って表しなさい。
2. 点PがAから何cm動いたとき、△PQDの面積が10cm²になりますか。

正方形の1辺は10cmです。

核になる考え方は「動いた距離は同じ」

この問題でいちばん大事なポイントは、PとQは同時に出発して同じ速さで動いているので、移動距離は常に等しいということです。

つまり、AP＝xと置くと、DQも同じxになります。ここに気づけると、あとは一直線です。

正方形の辺上を「同時出発・同じ速さ」で動く2点は、移動距離が常に等しい

3ステップで解いていく

ステップ1: PD、DQをxで表す

AD＝10cmで、AP＝xcmなので、

PD＝10−x

そして、DQはPと同じだけ動いた距離なので、

DQ＝x

ここまでは、実は「10−x」と答えるだけの、拍子抜けするくらいシンプルな計算です。

ステップ2: 三角形の面積から方程式を作る

△PQDは、PD、DQを2辺とする直角三角形です（正方形の頂点Dの角は直角なので）。三角形の面積の公式は、

底辺×高さ×2分の1

なので、

x×(10−x)×2分の1＝10

という式になります。これを展開して整理すると、

10x−x²＝20

0＝x²−10x＋20

という二次方程式ができあがります。

ステップ3: 解の公式で解く

x²−10x＋20＝0を解の公式に当てはめると、

x＝(10±√(10²−4×1×20))÷2

ルートの中を計算すると、100−80＝20なので、

x＝(10±√20)÷2

√20＝√(4×5)＝2√5 なので、

x＝(10±2√5)÷2

ここで、10÷2と2√5÷2をそれぞれ約分すると、

x＝5±√5

という答えが出てきます。

答えの吟味（検算）

x＝5±√5には、5+√5と5−√5の2つの値が出てきます。ここで「どっちが正解なんだろう」と迷う人が多いのですが、この問題ではどちらも成り立ちます。

√5は、√4＜√5＜√9、つまり2＜√5＜3なので、だいたい2.2〜2.3くらいの値です。

• 5＋√5 ≒ 7.2cm
• 5−√5 ≒ 2.8cm

どちらも0cmより大きく、正方形の1辺の10cmより小さいので、点PがAD上を実際に動ける範囲にきちんと収まっています。だから、2つとも答えとして正しいのです。

二次方程式の文章題では、答えが2つ出たときに「マイナスになっていないか」「問題の場面からはみ出していないか」を確かめる一手間が必要です。今回のように、どちらも成り立つケースもあれば、片方しか使えないケースもあります。

よくあるつまずき

つまずき1: 「動いた距離」を式にできない

「AP＝xcm」と言われても、PDやDQをどう表せばいいか分からなくなる人は多いです。図の中で「全体の長さ」から「すでに動いた分」を引く、という考え方に慣れていないのが原因です。正方形の1辺の長さから、AP（＝x）を引けばPDになる、という単純な引き算だと分かれば、一気に楽になります。

つまずき2: 答えが2つ出たときに、片方を疑ってしまう

二次方程式を解くと、答えが2つ出るのが当たり前です。ですが「片方は間違いなんじゃないか」と、せっかく出した答えを自分で疑ってしまう人がいます。今回説明したとおり、答えを問題の場面に戻して、範囲におさまっているかを確かめるのが正しい手順です。

つまずき3: 解の公式の計算が長くて、ミスが増える

解の公式は、係数のbが偶数のときに使える時短ワザがあります。動画では、ax²+2b’x+c＝0の形に整理して、

x＝(−b’±√(b’²−ac))÷a

という「2や4を省略できる」公式も紹介しています。今回の問題では、b＝−10なのでb’＝−5となり、通常の解の公式よりも数段階、計算が短くなります。

よくある質問

Q. 解の公式の時短ワザは、いつでも使えますか？

A. bが偶数のときだけ使えます。奇数のときは、通常の解の公式をそのまま使います。

Q. 答えが2つとも問題の条件に合っているとき、両方書いていいですか？

A. はい。両方が問題の範囲（今回なら0cm〜10cmの間）に収まっているなら、両方とも正しい答えです。

もっと詳しく知りたい人、実際の解説を見ながら確認したい人は、YouTubeの動画も参考にしてください。

わからない問題があれば、公式LINEで気軽に質問してくださいね。

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