√(20/(n²+4))が整数になる自然数nは？中3平方根の解き方

生徒

分母と分子をそれぞれルートを外せるところまで外してみたんですけど、模範回答と違っていて解説がなくて、どこでつまずいたかも分かんないままなので…

おっしー

OKです、じゃあ分かりやすく説明していきたいと思うんですけれど。まずルートを外すっていう着目は、すごくいいと思います。だって整数になるためには、ルートが邪魔だから。一緒に整理していきましょう。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

今日の問題

> √(20/(n²+4)) が整数となるような自然数nをすべて求めなさい。

「ルートの中に文字が入った分数」が整数になる条件を考える、中3「平方根」の応用問題です。一見複雑に見えますが、着目するポイントは2つだけです。

$\sqrt{\dfrac{20}{n^2+4}}$ が整数になるには、次の2つが同時に成り立つ必要があります。

まず「分数がなくなる」条件から考えていくのがポイントです。分数がなくなるということは、これを約分しきるということ。ルートが外れるということは、全部2乗の形で出てくる、ということになります。

まず、分子の20に注目しましょう。

$$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$$

これがわかると、もとの式は次のように書き換えられます。

$$\sqrt{\dfrac{2^2 \times 5}{n^2+4}}$$

分母と分子が同じ形になれば、ルートが外れて分数もなくなります。

分子は 2²×5 という形なので、分母のn²+4が次のどちらかになれば、約分してルートの中が平方数になります。

順番に計算していきましょう。

n²+4 = 5 を移項して計算すると、

$$n^2 = 1$$

自然数nの値は、プラスマイナス1になるんだけれど、今回は「自然数n」と書いてあります。自然数は正の整数なので、マイナス1はありません。

答え: n = 1

同じように、n²+4 = 20 を移項して計算すると、

$$n^2 = 16$$

自然数だから、答えは4になります。

答え: n = 4

見つけた2つの値を、もとの式に戻して確かめてみましょう。

どちらもきちんと整数になりました。

答え: n = 1, 4

「ルートが外れる」だけで満足してしまう: ルートの中身が平方数になっても、分母に分数が残っていたら整数にはなりません。「ルートが外れる」と「分数がなくなる」の両方を同時にクリアする必要があります。
答えを1つだけで止めてしまう: 問題文は「すべて求めなさい」なので、条件を満たすnが複数ある可能性を疑う必要があります。今回のように、n²+4 が「5になる場合」と「2²×5=20になる場合」の2パターンをどちらも調べることが大切です。
自然数の範囲を忘れる: n²=1の解はn=±1ですが、「自然数」という条件があるので負の値は除外します。