数学の証明問題が苦手な中学生へ｜3つの原因と書き方4ステップ1 min read

証明の問題って、手がまったく動かないんですよね。書き出しさえできればいけそうなのに、白紙のまま時間だけが過ぎていく。逆に、証明に時間をかけすぎて他の問題を解く時間がなくなった、という人も多いと思います。

理由はシンプルです。中学1年生までの数学は「計算して、答えを出す」訓練でした。ところが中学2年生で始まる証明は、「筋道を文章で説明する」という、まったく別の作業。同じ数学に見えて、水泳とテニスくらい種目が違うんです。

だから、今までのやり方が通用しないのは当たり前。頭が悪くなったわけでも、数学のセンスがないわけでもありません。足りないのは「書き方の型」だけです。

この記事でお伝えするのは、次の4つです。

• そもそも、なんで証明なんてしないといけないのか
• 証明だけ急につまずく3つの原因
• 証明のやってはいけない3つの勉強法
• 今日からできる証明の書き方4ステップ
• 覚える条件は、たった8個だけという話

最後に、おうちの方へのワンポイントと、無料の特典もご用意しています。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

そもそも、なんで証明なんてしないといけないの？

まず、多くの人が一度は思ったことのある疑問から片づけましょう。

「この三角形とこの三角形、どう見ても同じじゃん。なんでわざわざこんな長い文章を書いて証明しないといけないの？　見ればわかるでしょ」。数学が苦手な人ほど、ここで納得できずにつまずきます。

これ、諸説あるのですが、おっしー先生はこう説明しています。

答えはシンプルで、目は嘘をつくからです。

有名なのが「ミュラー・リヤー錯視」。まったく同じ長さの2本の線なのに、両端につける矢印の向きを変えるだけで、長さが全然違って見える、あの絵です。「ミュラー・リヤー 錯視」で画像検索すると出てくるので、ぜひ一度見てみてください。たぶん「見たことある！」となるはずです。

人間の目は、あれくらい簡単にだまされます。だから数学の世界では、「見た感じ同じっぽい」は証拠として認められません。理由をひとつずつ並べて、はじめて「同じです」と言っていい。目を信じない、というのが数学の世界のルールなんです。

そう考えると、証明は「めんどくさい作業」ではなく「誰が読んでも文句が言えない説明書」を作る作業だとわかります。

そしてこの説明書には、決まった作り方があります。イメージは料理のレシピです。

• ①材料を集める（＝図をかき写す）
• ②下ごしらえをする（＝わかっている条件を書き込む）
• ③きちんと煮込む（＝どの条件を使うか決める）
• ④お皿に出す（＝結論を書く）

材料を集めずにいきなり料理は出せませんよね。証明も同じで、手順を1個飛ばすと完成しません。この4ステップは記事の後半でくわしく解説します。

 

証明だけ急につまずく3つの原因

対策の前に、まず原因です。ここを飛ばす人がとても多いのですが、原因がわからないまま解決策をやっても効きません。頭が痛いのに、腹痛の薬を飲んでも意味がないのと一緒です。

証明でつまずく場所は、だいたい次の3つに分かれます。

 

原因①：書き出しで固まるタイプ

いちばん多いのがこれです。「△ABCと△DEFにおいて」。この「において」って、普段の会話で使いますか？　使わないですよね。

証明は、日常で使わない独特の日本語で書かないといけません。日本語のハードルでつまずいているだけなのに、「自分は図形がわからない」と勘違いしてしまう。もったいないパターンです。

 

原因②：条件を覚えていないタイプ

合同条件・相似条件をあいまいにしか覚えていないので、どれを使えばいいか判断できない。「なんとなく2つの辺が同じっぽいけど、それでいいんだっけ？」で止まってしまいます。

ただ、ここは安心してください。中学で使う条件は全部で8個しかありません。しかも、実は8個も覚える必要がない。その話は記事の最後にとっておきます。

 

原因③：図に何も書き込まないタイプ

これは、計算問題で途中式を書かないタイプとまったく同じです。

不思議なもので、数学が苦手な子ほど途中式を書かずに暗算でがんばろうとして、数学が得意な子ほどていねいに途中式を書きます。書くのがめんどくさい、遠回りに感じる。その気持ちはよくわかります。でも、めんどくさくて遠回りに見えるものほど、実は近道なんです。

途中式を書かないということは、全部の計算を頭の中でやっているということ。それ、天才じゃないと無理です。おっしー先生も無理です。

これは文章問題で「表にしよう」「図をかこう」と言っているのと、まったく同じ原理です。図形の証明も同じで、対象の図形をかき出して、問題文の条件をすべて書き込む。これをやらないのがいちばんよくないです。

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（補足）原因④：解説を読んで、わかった気になっているタイプ

そしてもうひとつ。模範解答を読んで「あー、そういうことね」で終わってしまうパターン。実はここが最大の落とし穴なので、次の章でくわしく扱います。

 

証明のやってはいけない3つの勉強法

正しいやり方の前に、まず「やらないほうがいいこと」から。よかれと思ってやりがちな3つです。

1. 模範解答を読んで「わかった」で終わる
2. いきなり入試レベルの証明から始める
3. 条件を丸暗記して、根拠を自分の言葉で言えない

 

①模範解答を読んで「わかった」で終わる

まず、模範解答を見ること自体はグッジョブです。丸つけだけして答えを見ない人もいるので、読んでいる時点でえらい。問題は、そこで終わってしまうことです。

理由は2つあります。

理由1：証明は「発想法・着眼点」が勝負だから

「ここが90度になりそうだな」「この2つは、たぶんこの条件でいけるな」。証明で本当に大事なのは、この着眼点です。ところが、問題集にも模試にも定期テストにも、載っているのは答えだけ。「なぜその合同条件を思いついたのか」という発想の部分を書いてくれている問題集は、正直ほとんどありません。

だから、読んで終わりにせず、もう一度自分で解いてみて、その発想が自分から出てくるかどうかを確かめてください。ここは独学だとつまずきやすいところなので、先生に教わってしまうのが早いです。「この文章でこのワードが出てきたら、まずこれを疑う」というポイントが、いくつもあります。

理由2：人は、寝ると忘れるから

エビングハウスの忘却曲線という有名な研究があります。人は一度覚えたことを、1日たつと7割以上忘れてしまうと言われています。「それもう覚えてないやん」とツッコみたくなりますが、人間はそういう生き物です。

だから、読むだけでは残りません。証明は、見て覚えるものじゃなくて、書いて覚えるもの。何回も書いて、あの独特の言い回しに慣れていきましょう。

ちなみに、学校の問題集でよくある「穴埋め式の証明」。あれ、正直おすすめしません。中学生の気持ちとしては全文書けと言われるよりラクなんですが、穴埋めだけをくり返しても、証明が書けるようにはならないんです。空欄以外のところも、まるごと書き写してみてください。書けば書くほど言い回しに慣れて、証明アレルギーが落ち着いてきます。

 

②いきなり入試レベルの証明から始める

夏休みに気合を入れて、いきなり入試問題の証明から始める。気持ちは最高なんですが、たいてい心が折れます。

やる気は、こう分解できます。

モチベーション ＝ やれそう感 × やりたい感

「やれそう」と思えないと、モチベーションは上がりません。しかも数学は積み上げ式の教科。前の基礎ができていないのに応用ができるはずがない、というだけの話です。

だから、まずは教科書レベルの証明から。なんなら、もっと戻って「8個の条件をすべて言える」状態を完璧にしてからでも遅くありません。ひとつずつクリアしていくほうが、やれそう感も自己肯定感も上がっていきます。

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③条件を丸暗記して、根拠を自分の言葉で言えない

「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」と唱えられても、「なんでこのパターンが存在するの？」と聞かれて答えられない。これだと、少しひねられた問題で手が止まります。

条件は呪文ではありません。次の章と最後の章で、意味とセットで覚え直していきましょう。

 

今日からできる証明の書き方4ステップ

ここからが本題です。証明はむずかしそうに見えて、やることは4つしかありません。

 

ステップ1：図を自分の手でかき写す

まず、問題の図を自分でかいてみる。そして、三角形と三角形が重なっているような図の場合は、証明したい2つの図形を、外に別々にかき出すのがおすすめです。それだけで、線がごちゃごちゃして見えなくなっていた対応関係が、一気に見やすくなります。

 

ステップ2：仮定を全部、図に書き込む

問題文でわかっていること（仮定）を、辺や角の印としてすべて図に書き込みます。これ、マジでやってください。

おっしー先生が指導してきた中学生の体感で、半分くらいは全部の情報を書き込めていません。少しは書いてあるけれど、くまなく全部は書き込んでいない。書き込むのが習慣になっている人からすると、「書かずにどうやって解いてるの？」とびっくりするレベルです。

でもこれ、頭の良し悪しの話ではなくて、やり方を知らない・習慣になっていないだけ。中学の定期テストレベルなら、反復のトレーニングで十分できるようになります。

 

ステップ3：どの条件に当てはまるか照合する

図に書き込んだ情報を見ながら、合同条件・相似条件のどれに当てはまるかを探します。ここで使う条件は、次の章の8個だけ。この8個を頭に入れておけば、探す作業はぐっと速くなります。

 

ステップ4：お決まりの型で書く

ここが超重要です。証明の文章は、次の4段階でできています。

1. 宣言：「△ABCと△DEFにおいて」。今日はこの2つの図形を見ますよ、という宣言
2. 条件の整理：「①AB＝DE」「②∠B＝∠E」のように、等しい辺・角をひとつずつ並べる
3. 使う条件を出す：「①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので」
4. 結論を書く：「△ABC≡△DEF」

このうち、①の宣言と④の結論は、実は問題文をそのまま書き写すだけです。「この2つの三角形が合同であることを証明しなさい」と書いてあるなら、最後に「よって△ABC≡△DEF」と書けばいい。頭を使うところではありません。

 

【書き方のコツ】頂点の順番は「座席表」

もうひとつ、テストには出ないけれど知っておくと得をする話を。

△ABC≡△DEFと書くとき、「対応する頂点の順番でそろえて書きなさい」と習いますよね。AとD、BとE、CとF。でも、なんで順番をそろえないといけないのか、説明できますか？

答えは、あの文字の並びは名前じゃなくて「座席表」だからです。

AくんとDくんはペア、BくんとEくんはペア、CくんとFくんはペア。並びをそろえておけば、図を見なくても、文章を読むだけで「どの頂点とどの頂点が重なるのか」が全部伝わります。学校の日直や席順と同じで、ペアが勝手に入れ替わったらみんなパニックですよね。新学期に隣の席が決まっていたはずなのに、行ってみたら全然知らない人が座っていたら、びっくりするじゃないですか。

つまり、順番は飾りじゃなくて情報。ここが崩れていると、内容が合っていても減点されます。

 

【無料プレゼント】証明の無料授業

ここまで読んで「型はわかったけど、発想法や着眼点が身についていない」と感じた人へ。

追加したら「証明」の2文字を送ってね。「明かりの照明」ではなく、合同の証明・相似の証明の「証明」です。

公式LINEは登録者が2万人を超えていて、いただいたメッセージすべてにすぐ返信するのがむずかしいのですが、キーワードを送っていただければ順にお返事しています。少し時間がかかることもありますが、ぜひ使ってください。

無料授業の日程を先に見たい人は、こちらのページから予約できます（LINEアプリで開きます）。

 

覚える条件は、たった8個だけ

最後に、これがいちばん大事な話です。

証明で使う「材料」は、中学生のあいだは全部で8個しかありません。

英単語のように何百個も覚える必要はありません。1日1個ずつ確認しても、1週間あればひととおり出そろう量です。

しかも、合同条件の3つは、実質1つ覚えるだけで済みます。

 

「3・2・1の法則」

おっしー先生が授業で勝手に呼んでいる覚え方です。三角形の合同条件を、この順番に並べてみてください。

• 3組の辺がそれぞれ等しい
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

気づきましたか？　辺の条件が1つ減るたびに、角の条件が1つ増えているんです。

3組の辺 → 辺を1つ減らして2組にすると、そのぶん「間の角」が1つ増える → もう1つ減らして1組にすると、そのぶん「両端の角」で2つぶん補う。辺と角のトレードオフになっているわけです。

だから、覚えるのは「3組の辺がそれぞれ等しい」の1つでいい。あとは辺を1つずつ減らして、減った分だけ角で補えばいい。学校では「3つ覚えなさい」と言われますが、この並びで見れば実質1つです。

正直これはこじつけです（笑）。でも、真っ向勝負で3つを丸暗記するより、ずっとラクじゃないですか？

覚えたら、ぜひ学校の友達やおうちの人に「3・2・1の法則って知ってた？」とドヤ顔で話してみてください。学んだことを人に話すだけで、記憶としてしっかり定着します。アウトプットまでがセットです。

ちなみに、直角三角形と相似の条件はこちら。

直角三角形の合同条件（2つ）

• 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
• 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

三角形の相似条件（3つ）

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

相似条件にもラクな覚え方があるのですが、それは無料授業のほうでお話ししています。

 

証明でやりがちなNG答案パターン

書き方の型がわかったところで、減点されやすい書き方も知っておきましょう。

• 理由を書かずに「見た目で同じっぽいから」で進めてしまう……記事の最初に書いたとおり、目は嘘をつきます。数学では証拠になりません
• 頂点の対応順序がバラバラ……△ABC≡△DEFの並びが図の対応と合っていない。座席表が崩れている状態です
• 1行に情報を詰め込みすぎる……「ABとDEが等しくて角も等しいから」と一気に書くと、どこが根拠かわからなくなります。1行1情報で、番号（①②③）をふって並べましょう
• 結論を書き忘れる……問題文を書き写すだけの、いちばん簡単なところ。ここを落とすのはもったいないです

 

【保護者の方へ】

最後に、この記事を読んでくださっている保護者の方へ。

お子さんから「なんでわざわざ証明なんてしないといけないの？」と聞かれたことはありませんか。そのときは、記事の前半でお伝えした「目は嘘をつくから（錯視の話）」と「頂点の並びは座席表」を、そのまま使ってあげてください。理由がわかると、子どもは急に取り組みやすくなります。

そしてもうひとつ、いちばんお伝えしたいこと。

計算はできていたのに証明だけできない、という状態を見ると、心配になるお気持ちはよくわかります。でも、証明ができない＝数学が苦手、ではありません。

中1までの数学は「答えを出す」競技でした。証明だけは「筋道を説明する」という別の種目です。水泳が得意な子がいきなりテニスをやらされて空振りしても、「運動神経が悪い」とは言わないですよね。それと同じで、種目が変わっただけ。今までの数学の点数と同じ物差しで比べる必要はありません。

おすすめの声かけは、「どの条件を使うのか、一緒に探してみようか」です。答えを教える係ではなく、一緒に探す係になってあげてください。図に条件を書き込む作業なら、数学から離れて久しい方でも一緒にできます。それだけで、お子さんの向き合い方は変わります。

 

よくある質問（Q&A）

Q. 図形が苦手なので、証明も無理そうです。
図形の見た目のセンスと、証明の型を覚える力は別物です。証明は「宣言→条件の整理→条件→結論」の型が決まっているぶん、覚えたことがそのまま形になりやすい分野。むしろ図形が苦手な人ほど、型から入るのがおすすめです。

Q. 証明は捨ててもいいですか？
おすすめしません。理由は2つあって、まず使う条件が8個しかないこと。そしてもうひとつ、答えが1本の文章なので、途中まで書けていれば、そこまでの過程が評価されることもあるからです。かけた時間に対して形になりやすいところを捨てるのは、もったいないです。

Q. 学校の問題集の穴埋めだけではダメですか？
穴埋めだけをくり返しても、白紙から書けるようにはなりにくいです。空欄以外の部分も、まるごと書き写してみてください。あの独特の言い回しは、手で書いた回数だけ慣れていきます。

Q. どれくらいで書けるようになりますか？
個人差はありますが、材料は8個だけです。1日1個のペースで条件を固めて、あわせて教科書レベルの証明を全文書く練習をしていけば、土台は思ったより早く整います。夏休みは学校の授業が止まる40日間。振り返りにも、苦手をつぶすのにも、いちばん向いている時期です。

Q. 途中式や図の書き込みが、どうしても面倒だと言います。
その気持ちはみんな同じです。伝え方としては「めんどくさい遠回りほど、実は近道」。頭の中だけで処理しようとするから難しくなるだけで、紙に書き出せば、そのぶん頭がラクになります。ケアレスミスの直し方とも共通する話なので、こちらもあわせてどうぞ。

ケアレスミスが直らない中学生へ｜「気をつける」をやめたら減る7つの直し方

ケアレスミスが直らないのは不注意や性格のせいではなく、ミスに名前がついていないだけ。オンライン塾Lafのおっしー塾長が、ミスの6分類診断、途中式と字の書き方、代入検算、5分前完答、保護者の声かけまで解説します。

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まとめ

証明が苦手なのは、頭のせいではありません。今までの数学と「種目」が違うだけで、まだ書き方の型を知らないだけです。今日の要点をまとめます。

「発想法や着眼点がわからない」「どこまで戻ればいいかわからない」という人は、公式LINEに「証明」と送ってください。夏休みはまだまだ長いです。一緒に証明の苦手をつぶしていきましょう。

追加したら「証明」の2文字を送ってね。

 

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この内容は、こちらの動画でくわしく話しています。

 

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