二次方程式そのものは解けるのに、文章題、しかも立体（空間図形）がからんだ問題になると手が止まる——中3の数学で、とても多いつまずきです。今回のテーマは、直方体の上を動く2つの点がつくる三角錐の体積を求める問題。二次方程式の文章題の中でもレベルの高い問題ですが、解く手順そのものはワンパターンです。
二次方程式は解けるんですけど、この問題みたいに立体の中で点が動くやつになると、どこから手をつけていいか全然わからなくて…。
その気持ち、すごくわかる。立体で考えると難しく見えるけど、底面だけ平面で取り出すと、ただの二次方程式の文章題になるよ。今日は「三角錐の体積」と「二次方程式の文章題」がひとつになった問題を、一緒にほどいていこう。
この記事では、公式LINEに実際に届いた問題を例に、三角錐の体積の求め方から、二次方程式を立てて解くまで、そして答えが2つ出たときの選び方までを、順番に説明します。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
1. 今回の問題
まず問題文です。
> 右の図のような直方体EFGH−ABCDがあり、EF＝12cm、EH＝6cm、EA＝6cmです。点Pは辺EF上を秒速2cmでEからFへ、点Qは辺EH上を秒速1cmでEからHへ、同時に出発します。点P、点Qが出発してから、三角錐CGQPの体積が64cm³になるのは何秒後ですか。
点Pと点Qが同時にEからスタートして、それぞれ違う速さで別の辺を進んでいく。その途中でできる三角錐CGQPの体積が、ちょうど64cm³になる瞬間をさがす問題ですね。動くものが2つあると身構えてしまいますが、やることは決まっています。
2. まず確認：三角錐の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」
計算に入る前に、公式を確認します。
三角錐の体積 ＝ 底面積 × 高さ × 1/3
ここで大事なのが、なぜ最後に「× 1/3」をするのかです。
立体には、まっすぐ上に伸びる「柱」と、1点にキュッとまとまる「錐（すい）」があるよね。三角柱は「底面積 × 高さ」でそのまま出る。でも三角錐は、同じ底面と高さの三角柱より明らかに小さいでしょ？だから × 1/3 してあげる。これが公式の意味だよ。
つまり「柱ならそのまま、錐なら1/3」。ここを丸暗記ではなくイメージでつかんでおくと、公式を忘れても迷いません。
今回の三角錐CGQPは、底面を三角形GQP、頂点をCと見ます。頂点Cの真下が底面の角Gにあたるので、高さはCG＝6cmとすぐにわかります（CGは直方体の縦の辺で、EAと同じ6cm）。
高さが6cmとわかっているので、あとは底面積さえ求まれば、体積が計算できるというわけです。
3. カギは底面積：「長方形 − 3つの三角形」で求める（核の考え方）
この問題の一番のポイントは、底面の三角形GQPの面積をどう出すか、です。
三角形GQPを立体のまま見ようとすると難しい。だから底面だけ、平面に取り出すんだ。すると、長方形EFGHの中に三角形GQPが入っている図になる。三角形の面積を直接出すのは大変だから、大きい長方形から、まわりの3つの三角形を引き算して、真ん中の三角形GQPを残そう。
底面を平面で見ると、こういう形です。
- 長方形EFGHは、縦6cm（EH）・横12cm（EF）
- そのなかに、点P（辺EF上）、点Q（辺EH上）、角Gを結んだ三角形GQPがある
- 長方形の残り3つの角（E・F・H）には、それぞれ直角三角形ができる
だから、
三角形GQP ＝ 長方形EFGH −（3つの角の直角三角形）
この「引き算で求める」発想さえ持てれば、あとは各三角形の面積をxで表していくだけです。
4. 3ステップで式を立てて解く
ステップ1：長さをxで表す
文章題の鉄則は、聞かれているものを文字でおくことです。今回聞かれているのは「何秒後か」なので、
求める時間を x秒後 とおく
とします。すると、それぞれの点が進んだ長さは、
- 点Pは秒速2cmだから、x秒後の EP ＝ 2x（cm）
- 点Qは秒速1cmだから、x秒後の EQ ＝ x（cm）
これで、3つの三角形の辺の長さをxで表す準備ができました。
ステップ2：底面積を計算する
長方形から3つの直角三角形を引きます。1つずつ面積を出しましょう。
- 長方形EFGH ＝ 6 × 12 ＝ 72
- ①角Eの三角形EPQ ＝ 1/2 × 2x × x ＝ x²
- ②角Fの三角形PFG ＝ 1/2 × (12 − 2x) × 6 ＝ 36 − 6x
- ③角Hの三角形QHG ＝ 1/2 × (6 − x) × 12 ＝ 36 − 6x
②のPFは「横12cmから点Pが進んだ2xを引いた残り」なので (12 − 2x)、③のQHは「縦6cmから点Qが進んだxを引いた残り」なので (6 − x) です。ここを取り違えないのがコツです。
あとは長方形から3つを引くだけ。1行ずつ計算します。
底面積 ＝ 72 − x² − (36 − 6x) − (36 − 6x)
底面積 ＝ 72 − x² − 36 + 6x − 36 + 6x
底面積 ＝ −x² + 12x
72から36と36を引くとちょうど0になり、底面積は −x² + 12xとスッキリまとまります。
ステップ3：体積の式を作って二次方程式を解く
底面積が −x² + 12x、高さが6cm。三角錐の体積の公式に入れます。
体積 ＝ 1/3 × (−x² + 12x) × 6
体積 ＝ 2 × (−x² + 12x) ＝ −2x² + 24x
これが64cm³になればいいので、
−2x² + 24x ＝ 64
両辺を2で割って、式を軽くします。
−x² + 12x ＝ 32
移項して、二次方程式の基本形（＝0）に直します。
x² − 12x + 32 ＝ 0
「かけて＋32、たして−12」になる2つの数をさがすと、−4と−8。因数分解すると、
(x − 4)(x − 8) ＝ 0
よって、
x ＝ 4、x ＝ 8
計算上は、4秒後と8秒後の2つが出てきました。ここで終わりにしないのが、この問題のヤマです。
5. 答えの吟味：なぜ x＝8 はダメなのか
ここでトラップ。x＝4とx＝8、どっちが答えだと思う？両方書いたらバツになるよ。
えっ、両方じゃないんですか…？
8秒後の場面を想像してみよう。点Pは秒速2cmだから、8秒後にはどれだけ進む？
点Pが進む長さは2xでした。x＝8を入れると、
点Pの進んだ長さ ＝ 2 × 8 ＝ 16（cm）
ところが、点Pが動ける辺EFは12cmしかありません。16cmも進むことは物理的に不可能です。つまり、
x＝8のとき、点Pは辺EFをはみ出してしまうので、この場面はありえない
したがってx＝8は却下。残ったx＝4が答えです。念のためx＝4を確かめると、点Pは2×4＝8cm（12cm以内）、点Qは4cm（6cm以内）で、どちらも辺の中にきちんとおさまっています。
答え：4秒後
二次方程式の文章題では、答えが2つ出たら「その場面が本当にありえるか」を必ず確認する。これが満点を取るための最後のひと手間です。
6. よくあるつまずき3つ
つまずき①：三角錐なのに「× 1/3」を忘れる
底面積 × 高さで止めてしまうと、それは三角柱の体積になってしまいます。1点にまとまる立体は錐、錐は最後に1/3。忘れやすいので、公式を書いた瞬間に「錐だから1/3」と口に出すクセをつけましょう。
つまずき②：底面の三角形を直接求めようとする
三角形GQPの面積をいきなり出そうとすると、辺の長さや角度がわからず行きづまります。長方形から3つの三角形を引く——この遠回りに見える方法が、実は一番はやい正攻法です。
つまずき③：答えを吟味せず、x＝4とx＝8を両方書く
これが一番の失点ポイント。動く点の問題では、点が動ける辺の長さに上限があります。「進んだ長さ」が「辺の長さ」を超える解は却下。今回ならEFの12cmが上限で、2x＝16となるx＝8は消えます。
7. FAQ
Q. 点Qのほうでもx＝8は却下できますか？
できます。点Qが動ける辺EHは6cmですが、x＝8だとEQ＝8cmとなり、こちらもはみ出します。点Pでも点Qでも、どちらか一方で「辺をはみ出す」と気づけば、その解は却下でOKです。判断しやすいほうで確認しましょう。
Q. どうして高さがCGだとわかるのですか？
底面（三角形GQP）は直方体の底の面にあり、頂点Cはその面のちょうど真上にあります。角Gの真上がCなので、CGが底面に垂直になり、これが三角錐の高さになります。CGは直方体の縦の辺で、EA＝6cmと同じ長さです。
Q. 因数分解ができないときはどうすればいいですか？
「かけて○○、たして△△」になる整数が見つからないときは、解の公式を使います。今回の x² − 12x + 32 のように整数で因数分解できる場合は、そのほうが速いので、まず因数分解を試して、無理そうなら解の公式に切りかえる、という順番がおすすめです。
8. まとめ
・三角錐の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」。錐だから最後に1/3
・頂点Cの真下が角Gだから、高さはCG＝6cm
・底面の三角形GQPは、長方形EFGHから3つの直角三角形を引いて求める
・x秒後とおくと、EP＝2x・EQ＝x。底面積は −x²＋12x
・体積の式 −2x²＋24x＝64 を解くと (x−4)(x−8)＝0、x＝4、8
・x＝8は点Pが2×8＝16cmとなり辺EF（12cm）を超えるので却下、答えは4秒後
・二次方程式の文章題は、答えが2つ出たら場面に当てはめて”ありえない方”を必ず消す
この問題は、Lafの公式LINEに実際に届いた質問をもとに動画で解説したものです。「立体と二次方程式が混ざると解けない」「答えが2つ出たとき、どっちを書けばいいか見てほしい」——そんなときは、公式LINEから気軽に送ってください。
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