「yはxの2乗に比例する」って書いてあるんですけど、そもそも比例の式ってどう作るのか忘れちゃいました。
大丈夫。中1で習った比例の式を思い出しながら、順番に整理していこう。
これは、Laf先生の公式LINEに実際に届いた質問です。二次関数の単元に入ると、「比例する」という言葉自体は覚えていても、それを式にする手順を忘れてしまっている中学生がとても多いところです。今回は、その式の作り方をゼロからおさらいします。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
yはxの2乗に比例し、x=−4のときy=8である。
(1) yをxの式で表しなさい。
(2) x=3のときのyの値を求めなさい。
(3) y=5のときのxの値を求めなさい。
核になる考え方は「比例の式のxを、そのままx²に変えるだけ」
中1で習った比例の式は、
y = ax
という形でした。xとyが変数、aが比例定数です。
「yはxの2乗に比例する」というのは、この式のxの部分をx²に変えただけの関係です。つまり、
y = ax²
という形になります。ここで迷う中学生が多いのですが、xの前についている数だけがaに変わり、xそのものが2乗されている形は変わりません。この2乗を忘れて「y=ax」のまま計算してしまうと、まったく違う答えになってしまいます。
3ステップで解いていく
ステップ1: y=ax²の形にあてはめる
「yはxの2乗に比例する」なので、まず式の形を
y = ax²
とおきます。ここまでは、xとyの値を代入する前の”箱”を用意しただけです。
ステップ2: 与えられたx、yの値を代入してaを求める
問題文には「x=−4のときy=8」とあるので、この値をy=ax²に代入します。
8 = a ×(−4)²
(−4)²は16なので、
8 = 16a
両辺を16で割ると、
a = 16分の8 = 2分の1
比例定数aが求められました。
ステップ3: aの値を戻して、答えの式を完成させる
ステップ1の「y=ax²」のaに、ステップ2で求めた2分の1を代入します。
y = 2分の1x²
これで(1)の答えが完成しました。
(2)(3)も同じ式に代入するだけ
式y=2分の1x²さえ作れてしまえば、(2)と(3)は代入するだけの計算です。
(2) x=3のときのyの値
y=2分の1x²にx=3を代入すると、
y = 2分の1 × 3² = 2分の1 × 9 = 2分の9
(3) y=5のときのxの値
y=2分の1x²にy=5を代入すると、
5 = 2分の1x²
両辺に2をかけて、
10 = x²
ここで、x²=10になる場合のxは、10の平方根であるプラスマイナス√10になる点に注意が必要です。2乗して10になる数は正と負の両方にあるため、符号を忘れずに書きます。
x = ±√10
検算: 答えの吟味
(1)で求めたy=2分の1x²に、最初の条件x=−4を戻して確認します。
y = 2分の1 ×(−4)² = 2分の1 × 16 = 8
問題文の「x=−4のときy=8」と一致するので、式は正しく求められています。
よくあるつまずき
- y=axのまま計算してしまう: 「2乗に比例する」のに、xを2乗せず1乗のまま代入すると、aの値がまったく違う数になります
- (−4)²を−16と計算してしまう: マイナスの数を2乗すると、符号はプラスになります。(−4)²=16です
- 平方根を求めるときに±を忘れる: x²=10のようにxの2乗の値がわかったとき、xはプラスの数とマイナスの数の両方が答えになります
FAQ
Q. 「yはxの2乗に比例する」と「y=ax²」はどう違うのですか?
A. 同じ関係を、日本語で説明したものと式で表したものの違いです。「yはxの2乗に比例する」を式にすると、必ずy=ax²の形になります。
Q. 比例定数aは、いつも求める必要がありますか?
A. 問題文にx、yの具体的な値が1組与えられていれば、その値を代入することでaを求められます。aが求まれば、その式にほかのx、yの値を代入して(2)(3)のような問題も解けます。
- 「yはxの2乗に比例する」は、比例の式y=axのxをx²に変えたy=ax²のこと
- 比例定数aは、与えられたxとyの値を代入して求める
- x²の値からxを求めるときは、プラスマイナス(±)を忘れない
二次関数の基礎でつまずいたところや、ほかの単元でわからない問題があれば、Laf先生の公式LINEからいつでも質問できます。写真を送るだけで、その問題に直接お答えします。
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