平方根の中に分数がある問題では、「ルートを外す」だけでなく、「分数が残らないか」まで考える必要があります。
この記事では、√(20/(n² + 4)) が整数になる自然数 n を、素因数分解を使って見つける方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の値が整数となるような自然数 nをすべて求めなさい。
√(20/(n² + 4))
ここで自然数とは、1、2、3、4、……のような正の整数のことです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 整数になる条件を整理する
今回の式は、ルートの中が分数になっています。
整数になるためには、まずルートが外れる形にならなければいけません。
さらに、ルートが外れたあとに分数が残ると整数ではないので、分数がなくなることも必要です。
つまり、「約分して分数がなくなり、残った数が平方数になる」ことを考えます。
ステップ2: 20を素因数分解する
分子の20に注目します。
20を素因数分解すると、次のようになります。
20 = 2 × 2 × 5
20 = 2² × 5
そのため、もとの式は次のように見られます。
√(20/(n² + 4)) = √((2² × 5)/(n² + 4))
分母の n² + 4 が、分子のどの部分を消せるかを考えるのがポイントです。
ステップ3: 分母 n² + 4 が何ならよいかを考える
まず、n² + 4 = 5 の場合を考えます。
分母の5と分子の5が約分されて、ルートの中には2²だけが残ります。
√(2²) = 2
この場合、答えは整数になります。
次に、n² + 4 = 20 の場合を考えます。
分母と分子が同じなので、約分するとルートの中は1になります。
√1 = 1
この場合も、答えは整数になります。
n² + 4 は5または20になれば、√(20/(n² + 4)) は整数になります。
ステップ4: それぞれの方程式を解く
まず、n² + 4 = 5 を解きます。
n² + 4 = 5
n² = 5 – 4
n² = 1
n = ±1
ただし、n は自然数なので、-1は入りません。
よって、n = 1 です。
次に、n² + 4 = 20 を解きます。
n² + 4 = 20
n² = 20 – 4
n² = 16
n = ±4
こちらも n は自然数なので、-4は入りません。
よって、n = 4 です。
答えは n = 1、4
よくあるミス・つまずきポイント
ミス1: ルートを外すことだけ考えてしまう
この問題では、ルートが外れるかどうかだけでなく、分数が残らないかも大事です。
たとえば、分子や分母をそれぞれ見てルートを外そうとしても、全体として整数になる条件を見落とすことがあります。
「ルートが外れる」と「分数がなくなる」の2つをセットで確認しましょう。
ミス2: 自然数の条件を忘れる
n² = 1 なら n = ±1、n² = 16 なら n = ±4 です。
しかし、問題では自然数 nと書かれているので、負の数は答えに入りません。
最後に条件へ戻って、n = 1、4 だけを答えにします。
まとめ
- √(20/(n² + 4)) が整数になるには、分数がなくなり、ルートが外れる必要があります。
- 20 = 2² × 5 と素因数分解して、分母 n² + 4 が何を消せるかを考えます。
- n² + 4 = 5 または n² + 4 = 20 のとき、式は整数になります。
- 自然数の条件より、答えは n = 1、4 です。
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